初中数学培训总结【精品】
总结是对某一特定时间段内的学习和工作生活等表现情况加以回顾和分析的一种书面材料，它能够使头脑更加清醒，目标更加明确，让我们好好写一份总结吧。你所见过的总结应该是什么样的？下面是小编为大家整理的初中数学培训总结，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
初中数学培训总结1
11月4号，在房县实验中学很荣幸观摩学习了省特级教师带来的示范课及讲座!本次数学班培训，内容丰富，形式多样，有黄石市八中特级教师教师郭茂荣、黄石市第十四中学的特级教师查婉兰及武汉一中骨干教师汤晓丹等教学专家的示范课。这一天，培训既有理论提升又有实践听课，既有专家讲座，又有互动交流，面对不同风格的名师感觉是幸福而又充实的。在这里，使我更进一步了解和掌握了新课改的发展方向和目标，从数学文化和素质教育的角度进一步认识了数学的价值、数学的美。反思了以往工作中的不足，使自己收获不小，使我的教育观念进一步得到更新，真是受益匪浅。下面是我通过培训获得的点滴体会：
一、培训内容安排丰富多彩，和专家面对面交流
本次培训活动，即安排了贴近我们实际教学的课堂教学活动，又安排了生动的知名的专家讲座，做到了理论联系实际，活动内容丰富多彩。我们坐下来和知名专家进行交流，有针对性地听课，解决了自己在课堂教学中解决不了的问题，了解和接受最新的教育理论，课堂动态，专家们理论与联系实际的精彩讲解，使我们听课者备受鼓舞。王国君老师的讲座，让我感到自己还停留在经验型教师的层面上，让我看到自己虽然有执着的工作信念，但教学的`反思是及其不够的，美国心理学家波斯纳提出了教师成长的公式：成长=经验+反思。如果一个教师仅仅满足于获得经验而不对经验进行深入的思考，那么、即使是有“20年的教学经验，也许只是一年工作的20次重复;这样他永远只能停留在一个新手型教师的水准上”。充分说明了总结自己的教育，思考自己的教育行为之重要。使我的思想上受到了震撼，我要不断地反思自己的教学，寻找自己的差距。
二、培训产生了思维的触动，欲逐步更新教学行为
通过理论与实践的培训，对我来说，受益颇多。从现场课中，我们感受到了浓浓课改的气息，教师积极创新的意识;从专家的讲座报告中，我们领略了数学最前沿的理论，怎样才能成为研究型的教师。通过本次学习活动给我很大的启示。
一数学教师应有的教学方式：
新课程强调教学过程是师生交往、共同发展的互动过程。在教学过程中要处理好传授知识与培养能力的关系，注重培养学生的独立性和自主性，引导学生质疑、调查、探究，在实践中学习，使学习成为在教师指导下主动的、富有个性的过程。教师应尊重学生的人格，关注个体差异，满足不同需要，创设能引导学生主动参与的教育环境，激发学生的学习积极性，培养学生掌握和运用知识的态度和能力，使每一个学生都能得到充分的发展，为每一个学生终身发展打下良好的基础。教师不再是权威，只是教学过程的组织者、引导者，课堂上会较多地出现师生互动、平等参与的生动局面，教师尽可能地组织学生运用合作、小组学习等方式，在培养学生合作与交流能力的同时，调动每一个学生的参与意识和学习积极性，课堂教学形式多样，经常开展讲座交流和合作学习，让大家共同提高，老师们多是鼓励性的话语，对待学生和蔼可亲，尽量发现学生的闪光点。
二学生应有的学习方式：
在基础教育改革下，学生学习方式开始逐步多样化，学生在学习中能乐于探究、主动参与，勤于动手，学生的学习，不再是整天处于被动地应付、机械训练、死记硬背、简单重复之中，不再是对于所学内容总是生吞活剥、一知半解、似懂半懂，学习内容比以前宽泛多了，经常能够联系实际，接触社会实际，从生活中来学习、思考，作业形式也丰富多了，有手工制作、写小论文、社会调查、查找资料等等。活动性作业比书面作业有增多，让学生学习更轻松、更喜欢上学，对学习更有兴趣和积极性。
三新课改下的评价方式：
新课程的评价强调：评价功能从注重甄别与选拔转向激励、反馈与调整;评价内容从过分注重学业成绩转向注重多方面发展的潜能;评价技术从过分强调量化转向更加重视质的分析;评价主体从单一转向多元;评价的角度从终结性转向过程性、发展性，更加关注学生的个别差异;评价方式更多地采取诸如观察、面谈、调查、作品展示、项目活动报告等开放的及多样化的方式，而不仅仅依靠笔试的结果;更多地关注学生的现状、潜力和发展趋势。我们可通过在汲取学生时代的经验的同时，通过在职培训、自身的教学经验与反思、和同事的日常交流、参与有组织的专业活动来促进我们自身的专业成长。
通过本次的学习，我知道了如何更好地反思教学，如何进行同伴互助，怎样从一个单纯的教书匠转变成一个“经验型”的教师等等。这些理论对我来说很是及时，有了这些先进的理论，才能得出有效的实践。正如专家所说：高标准要求自己，高水平引领学生，高境界体现价值，真正落实“根”的教育。
在以后的教学中，我要做的是：
第一，自我反思。从以往的实践中总结经验得失。
第二，学习。读万卷书，行万里路，读书是提高自我素养的良好基奠，知识是财富，人生旅程是财富，教学经验、过程与感悟更是财富。
第三，交流。他人直言不讳的意见与建议可能是发现不足、认识“庐山真面目”的有效途径。要听真言，要想听真言，更要会听真言，久而久之对我大有裨益。
问渠哪得清如许，为有源头活水来。培训还将继续，我会抓住这次难得的机会，不断提高理论知识，填充自己。因为自己以前实在是知识面较窄、积累也很少。于是我暗暗下定决心，一定要抓紧一切有利时机来完善和提升自己，争取再上一个台阶。
“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”。通过本次培训使我深有感触：新课程下的课堂教学，应是通过师生互动、学生之间的互动，共同发展的课堂。它既注重了知识的生成过程，又注重了学生的情感体验和能力的培养。因此，在今后的教学中，要用自己学来的知识丰富自己的数学课堂教学，优化自己的课堂教学，创出自己的教学特点。我们在教学中对教材的处理、教学过程的设计以及评价的方式都要以学生的发展为中心，以提高学生的全面发展为宗旨，这才是我的最终目标。
初中数学培训总结2
我们来自农村的教师得以与众多专家、学者面对面地座谈、交流，倾听他们对数学教学的理解，感悟他们的教育教学思想方法。这次培训内容丰富，安排合理，使学员们受益匪浅。
一.理论学习，飞的更高。
(一)专家讲座，思想理念的提升!
我们这次培训班名称是：“国培计划”——初中数学骨干教师培训班，班主任是易才凤老师，副班主任是刘咏梅和虞秀云老师，班主任助理是周玲芳和陈艳凤。本次培训，听了专家胡惠闵教授《基于学生经验的学习活动设计研究》等讲座14个，从师德、当前教育教学改革动向、教科研、课堂教学专题、教材解读、现代教育技术应用等多方面进行，各位知名专家、学者、特级教师从自己切身的经验体会出发，畅谈了他们对师德以及教学等教育教学各个领域的独特见解。让我们更清晰地意识到作为一个农村教师该如何看待自己所处的位置，该如何去提升自己的专业水平。在知识方面，我们深感知识学问浩如烟海，也深深地体会到教学相长的深刻内涵。教师要有精深的学科专业知识，广博的科学文化知识，丰富的教育和心理科学知识。知识结构要合理，当今的自然科学，社会科学和人文科学互相渗透，相互融合，只懂自己专业的知识是远远不够的，这一点我们在学习中体会很深。精深的专业知识是教师担任教学工作的基础。这就要求教师要扎实的掌握本学科的基础理论，基础知识以及相应的技能，并运用自如。熟悉本学科的学习方法和研究方法，同时还要具备一定的与本学科相关的知识。学员们在这次培训中发现自己专业知识还很欠缺。只有掌握全面的学科知识才能在教学过程中高屋建瓴的处理好教材，把握住教材的难点，才能有对教材内容深入浅出的讲解。从而保证教学流畅地进行，使学生既学到知识，又掌握学习方法和发展能力。
(二)学员论坛，思想交流的园地!
在理论培训阶段，为了提升每位学员自身的理论水平，安排了三次小组交流。在小组讨论中，学员们畅所欲言，许多提出的观点和问题，都是农村数学教学中的实际问题，引起全体学员的一致共鸣的同时，也得到专家们的重视，他们的回答也给了我们很好的启示，对于我们今后的教学有着积极的促进作用。对每一个专题进行总结，有了自己的看法，有了自己的思想，有些观点非常精髓，有独到的见解，我们有些学员开玩笑的说：“我们自己也有一些专家的天份!”。
(三)反思，理论水平提高的源泉!
这次培训要求每个学员每天都要做笔记，写反思学习日志，写心得体会，提出困惑。也为我们学习和交流提供了一平台。认识到继续教育的重要性，树立终身学习的目标，这次培训，就自身更新优化而言，使学员们树立了终身学习的思想。通过培训，感觉以前所学的知识太有限了，看问题的眼光也太肤浅了。教师只有树立“活到老，学到老”的终身教育思想，才能跟上时代前进和知识发展的'步伐，才能胜任复杂而又富有创造性的教育工作。“问渠那得清如许，唯有源头活水来。”只有不断学习，不断充实自己的知识，不断更新自己的教育观念，不断否定自己，才能不断进步，拥有的知识才能像‘泉水”般沽沽涌出，而不只是可怜的“一桶水”了。
二、同行交流，取长补短!
本次培训，汇聚了全省各地的骨干教师，每位培训教师都有丰富的教学经验，教学的外部条件也非常相似，但也存在着许多的差异，为我们之间的相互交流提供了很好的一个交流平台。因此，成员之间的互动交流成为每位培训人员提高自己教学业务水平的一条捷径。在培训过程中，学员们在交流过程中，了解到各区县的新课程开展情况，并且注意到他们是如何处理新课程中遇到的种种困惑，以及他们对新课程教材的把握与处理。在培训中，我们不断地交流，真正做到彼此之间的相互促进，共同提高。
三、教学实践，飞得更远!
(一)教学实践，本身就是一种环境的体验。
在职研修自主学习安排三个月，12月18日开始，我们回到学校进行教学实践分散学习。通过教学策略的修正，对比教学，使我感触到自身课堂教学中最本源的东西，在教学中反思，在反思中成长。同时，在教学实践的过程中，积极参与学校的校本教研活动，经常听一些优秀教师讲课，学习他们规范的组织方式，感受他们浓厚的教研氛围，积极寻找差距所在，当然，也积极报名参加上公开课，接受自我反思和导师与同伴的诊断，使我对于校本教研有了更好的认识与把握。
(二)校本教研，诊断提高。
在集体备课的前提下，采用“示范—诊断—提升”的实践模式：指定教师上示范课，其余教师观摩——我和同伴听课诊断——我指导教师进行诊断性说课、评课——我指导教师修改教案—指定教师上第二次课(提高课)、我和同伴听课——我指导教师进行教学反思和总结。通过实实在在的行为，加深教师对教学的理解，加深对课堂的掌控，加深对细节的把握，从而提高课堂教学艺术。
四个月的培训是短暂的，但是留给我的记忆与思考是永恒的，通过这次培训，使我提高了认识，理清了思路，找到了自身的不足之处以及与一名优秀教师的差距所在，对于今后如何更好的提高自己必将起到巨大的推动作用，我将以此为起点，让“差距”成为自身发展的原动力，不断梳理与反思自我，促使自己不断成长。
初中数学培训总结3
20xx年9月7日至25日，我有幸参加了由保定学院承担的河北省省初中数学骨干教师培训。这次培训对于自己收益很大，培训时间安排合理紧凑，老师们讲课精彩，教学内容丰富多彩。这次培训给我们提供了一个再学习、再提高的机会，让我们能聚集在一起相互交流，共同学习，取长补短，共同提高。通过这次培训，收获很多，眼界开阔了，思考问题能站在更高的境界，许多疑问得到了解决或者启发。我们不仅学到了丰富的知识，进一步提高了业务素质。现总结如下：
一、更新了教育教学观念，以新观念指导教学
时代在不断进步，社会在不停前行。同样，教育教学理念也应与时俱进。特别是随着新课程改革的纵深发展，很多教育教学中的深层次问题不断地暴露，这时候更需要理论的指示与专家的引领。对于我个人而言，这次培训无疑是一场“及时雨”，不仅对理清新课改中的种种关系有帮助，而且对突破新时代教育教学中一些“瓶颈” 问题提供新的解决思路与方法。
首都师大博导、新课标研制组组长王尚志教授的《整体把握新课程下的初中数学》的专题报告。他细致的分析了新课改的一些重大变化，如有原来常提的双基改为了四基，两种能力也增为四种能力，这些都对一线教师产生了深深的触动，并对一线教师提出了新的要求。如何在教学中落实成为新时期一线数学教师所面临的问题，同时也提出了初中数学教学不要仅仅局限于数学课堂，要提高各方面知识和能力。
二、更新了教育教学知识，结合新知识服务教学
教师要知识的更新与教学艺术的更新。作为数学老师，他应是始终站在科学知识岸边的摆渡人，传承知识与文化;他应是学生灵魂的塑造师与精神垃圾的清道夫。所以，作为数学教师必须时时保持充电的状态，此次培训无疑是一次良好的机会。经过培训，就我个人而言，不仅在学科知识方面得到一次全面的补充，而且在教学艺术方面得一次新的补充。
人民教育出版社中学数学室主任、课程教材研究所研究员章建跃博士《有效改进课堂教学》的专题报告，对初中数学的教学目标，课堂设计进行了深入的阐释，提出这是聚焦课堂的教学研究的最直接的方式方法。保定市数学教研员徐建乐老师《进一步理解新课程下的教与学》，保定市新市区数学教研员王卫国老师《数学复习课设计的实践与思考》等专题报告都从具体教学设计、教师教学、学生学习的方面对初中学学教学从不同方面进行了细致分析和讲解。同时强调现在的教师需要有反思精神，需要掌握教育学知识，才能成长为学生喜欢的教师。
总之，教育是一门艺术，需要老师不断的自己更新，才能更上一层楼。
三、观摩了名师教育教学，合理吸收利用于教学
此次培训活动的一大特色就是理论联系实际。不仅聆听了专家的解读，而且近距离地学习了名师的教育教学艺术和班级管理艺术。
保定三中章魏老师的《把握数学本质，打造有效数学课堂》，他通过多达42个实际课例讲授了提高数学素质是实现有效课堂的前提及教师应具备的数学学科专业知识等内容，通过多达几十个实例具体讲解课堂的各环节设计。让学生发现提出问题能力的培养，作为教师首先就要对教材细琢磨，换个角度多想想，发现提出问题，才符合新形势下对我们一线教师的要求!
观摩了徐水二中许春英教师、北京九中三名教师、保定七中教师的教学，大家积极开展研讨，研讨中没有虚假的恭维，只有真知灼见、真实流露;没有形式上的大话、套话，只有深入思考后的针锋相对。现场研讨，成为思维交锋、不同地域多元教研文化交融的平台，感觉收获颇丰。
四、理解了教师成长，加速成长要引领教学
教育的发展，关键在教师的成长。教师是学校发展的基石，学校的软实力来自己于拥有一只业务能力强，团结敬业的教师队伍。对于个人而言，教师的成长不仅是时代的`要求，更是适当现代教育的需要。此次培训，很多专家与同仁重点谈了教师如何规划自己的成长之路，成为名师，成为教育家。
如保定学院韩素兰教授的《求解中学教师科研难题》的报告中关于中学教师研究解疑的讲解条理清晰，研究及书写论文步骤详细，并且每点都联系了大量实际案例，实际操作性强，听起来很清楚明白，顿时觉得课题写论文也并不是一件难事。保定学院常务副院长朱红素教授《适者生存，强者精彩---骨干教师成长为名师的历程》从名师的界定、特征解读、条件阐述、成长路径等四个方面进行了讲解。提出作为名师要具备或尽快培养较强的个人能力：精于教学、长于教研、善于写作。 保定学院数学系主任周和月教授《几何画板与中学数学教学》学到了利用几何画板达到更好的教学要求实现教学目标。
五、结识了全省教学名师，促进兄弟学校联系教学
此次培训是一个很好的平台，参加培训的都是全省教学一线的精英、名师，对教育教学都是自己独到的见解。所以此次培训是一个非常好的相互学习的机会，平时大家一起学习共同交流。认识，在交流中提升;情感，在交流中深化。同时，通过此次机会，建立友谊的纽带亦为乐事。创办的qq群，成为了大家各在一方时交流的平台。
六、积极发挥示范引领作用，促进学校的教育教学
集中培训后，我主动将这次培训的成果带回单位，充分发挥骨干教师的作用，积极示范，大胆引领，带领全校的数学教师投入到学校教育教学改革中。在教研组活动中，我积极解答教师教学中遇到的各种难题，引导互动和交流，促进了大家的专业素质的成长。
参加省级骨干教师培训是自己成长路上的一次重要经历，我格外珍惜。培训时积极认真，回到学校，我对自己严格要求，事事仔细，目的就是要将学校的年轻教师都培养出来。我相信，通过这次培训，我在初中数学教学的大路上一定会走得更稳更远!
初中数学培训总结4
“国培计划”送教下乡培训在河西乡九年一贯制学校开班。来自全县八乡镇、城区一小、二小教师，县民族中学教师，县教师进修学校及县教育局教研室工作人员共计140余人参加了此次培训。本次培训为期3天，培训以专题讲座、案例分析、同课异构等方式进行，旨在推进“国培计划”实施，提升乡村教师职业道德素养和课堂教学能力，打造一支“用得上、干得好”的高素质乡村教师队伍，推进全县基础教育优质均衡发展。
5月7日上午，开班典礼在河西乡九年一贯制学校小学部会议室举行。仪式上，县教师进修学校校长杨春雁介绍了兰坪县“国培计划”送教下乡培训的目的、意义和日程安排，并对全体学员作了培训纪律要求，一是在培训期间，不忘初心，牢记使命，认真学习，掌握先进的教育教学理论，提高自己的实践能力，成为教育改革的奋进者、教育扶贫的先行者；二是积极主动参与到教学活动，让国培观念真正深入人心；三是要相互关心，相互帮助，加强交流合作，强化实践教学能力，营造良好的培训氛围，为基础教育事业的`发展做出应有的贡献。
随后，杨福贤老师以图文并茂的方式，从认识压力、压力的来源、压力管理的根本等方面给全体学员讲授了题为《身心如一当老师——谈新时代教师的压力与情绪管理》的讲座。全体学员认真听讲并做好学习笔记，并在课间与培训老师积极交流教育教学。
下午，来自云南民族大学附属中学的王启兵老师给七年级（1）班上示范课《不等式及其解集》。王老师在授课中面向全体学生，激发学生的深层思考和情感投入，鼓励学生大胆质疑，独立思考，并组织学生进行当堂练习，学以致用。学生认真做练习，老师耐心指导。王启兵老师结合自己多年的教学经验给国培学员们分享了《怎么来备课》。
兰坪县民族中学数学老师和文勇、河西九年一贯制学校李尚宝老师、中排中学张艳梅三位老师分别给八年级的学生上同课异构《中位数和众数》，课堂上，各位老师创设情境、引出新知，有效地组织和引导学生从逻辑推理中理解和区分中位数和众数定义，课堂氛围十活跃。通甸中学和春红、营盘中学和兴倡两位老师分别给七年级的学生上同课异构《加减消元法解二元一次方程组》。
老师们都能专心致志，全神贯注，认真的聆听和记录。通过磨课、研课、示范课对课堂教学问题进行诊断与聚焦。体现人人参与，人人反思，人人总结，听课教师直言不讳，畅所欲言。磨课后授课教师虚心听取了大家的意见，及时改进不足，使整个教研组形成了良好的教研氛围。
为期三天的培训圆满结束，此次培训几个方面都给予肯定，一是培训目的任务明确，紧紧围绕“研课磨课”、“同课异构”，最终圆满完成培训任务，达到预期效果。二是此次培训组织严密，各项工作扎实有序进行。三是上课教师准备充分，高质量完成上课任务，得到大多参培学员的高度认可。四是所有参培学员全勤，认真参与各项活动。听课专心，评课用心，发言踊跃积极。他们表示：返岗后将此次培训的知识带到工作中，用到实践中，不辱使命，继续前行，用自己的行动和成绩证明我们是学到做到的数学人；我们是爱岗敬业，锐意进取的数学人。他们表示：对数学专业知识和上课技能的提高只有起点，没有终点，始终在路上……
初中数学培训总结5
短短90学时的数学培训给我留下了深刻的印象。此次培训分为理论学习和实践活动两个阶段，回味这两次的学习生活，虽然紧张而忙碌，但也因收获而丰润。
一、理论学习感悟：
作为一名普通的数学老师，我们最渴求知道的还是“如何上好一节课？”要真正上好一节课确实很难，所以这方面的理论学习是我们最需要的。通过几天的理论培训，让我深深体会到作为一线教师，只有深入的研读和挖掘教材中所提供的丰富的信息资源，才能合理、有效地使用好教材；每天听着专家们的精彩讲演，他们的每一句话每一个观点，都值得我推敲，我在收获甜甜果实的同时，我心里也有酸酸的感觉，他们厚实的文化底蕴，执着的教育追求，严谨的治学态度，让我感到汗颜。回顾自己的教学，才发现自己实践的不少，但思考太少。常以工作忙为借口懒于反思、总结，通过这次学习，我才发现在不经意间我错失了许多。这几天的理论学习让我亲身体验到了专家、名师们身上所散发的各具特色的人格魅力，他们的敬业精神和专业精神以及渊博的学识，让我明白了什么才是充满魅力的课堂。
二、实践活动感悟：
刚刚结束的一星期的实践活动，领略了3位教师的课堂教学风采，不同的理念，不同的'设计思路让我真实感受到她们的扎实的基本功，同时也为我下一步的发展指明了方向。课堂教学是一个“仁者见仁，智者见智”的话题，在我看来，不同的教师演绎不同的风采，却展现同样的精彩。通过听课让我学到了很多新的教学方法和新的教学理念。教师没有利用课本上的例题，而是从学生生活的情景海贝贝冲浪谁最棒作为切入点，用以吸引学生的注意力，同时也密切了数学与现实生活的联系。在本课中教师通过安排学生动手操作的环节，让学生通过摆一摆、画一画等活动，让学生在学习中边学边练，加深了对所学知识的理解与运用。课堂教学对教师而言，不只是为学生成长所做的付出，不只是别人交付任务的完成，他同时也是我们自身生命价值的体现。让课堂走进生活，将课堂教学当作学生的生命经历，自觉地尊重学生，尊重学生的这段经历，课堂才会显得朴实而又睿智。在这短短几天的时间里，让我深切体会到优秀的数学课堂是情智共生的课堂，要以情促智，以智生情，让学生心灵闸门不断开启，让学生智慧的火花不断点燃。评课交流可以使人的思考更加广阔，内容更加丰富。作为一线教师，我想我更应该勇敢地、虚心地、随时地与其他老师交流，交流教学中的问题与困惑等。通过每次课后的交流产生思想碰撞与思考，解决困惑，从中也让我获得很多启发与收益。
通过这次培训，让我深深体会到只有不断的学习，才能有不断的提升，对如何做好一名出色的数学教师有了更多的努力目标。我将反思着自己的差距与不足，寻找着自己应该努力的方向，相信本次培训活动对我今后的教学一定会产生积极而深远的影响。虽然培训已结束，但是在培训过程中我受到的思想振荡将伴随我今后的教学生涯。
初中数学培训总结6
数”的产生成为人类文明发展的一个重要的标志。人类从识别事物多寡的原始的数觉能力，到抽象的“数”概念的形成，经历了一个缓慢渐进的过程。
第一次扩充：分数的引进；第二次扩充：0的引进；第三次扩充：负数的引进；第四次扩充：无理数的引进；第五次扩充：复数的引进。
从原有数集扩充到新数集所遵循的原则：原数集是扩充后新数集的真子集；原数集定义的元素间的关系和运算在新数集中同样地被定义；原数集中的元素在新数集中定义的运算结果与在原数集中的运算结果一致，且基本运算律保持；在原数集中不能施行或不能完全施行的某种运算，在新数集中能够施行；新数集是满足上述四条的数集中的最小数集。扩充方法：一种是把新引进的数加到已建立的数系中而扩充。另一种是从理论上创造一个集合，即通过定义等价类来建立新数系，然后指出新数系的一个部分集合与以前数，一种新的数，也就实现了数系的一次扩张。引入了负数，就实现了这个数系关于加减运算的自封闭。
有理数有一种简单的几何解释在一条水平的直线上，确定一段线段为单位长度，把它的左、右端点分别标设为0和1。正整数在0的右边，负整数在0的左边。对于分母q的有理数，就可以用把单位区间q等分的那些分点表示。每一个有理数都可以找到数轴上的一点与之对应。
无理数的引入正方形的边长和对角线不可公度。实现了数系的又一次扩张，可以满足数学上开方运算的需要，实现了实数系关于加减运算的封闭性。戴德金阐述了有理数的有序性、稠密性和戴德金分割。戴德金分割是指,每个有理数都将全部有理数分为两类，使得第一类中每个数都小于第二类中的任一个数，这个分类的有理数可以算在两类的任何一类中。利用这个分割法可以得到无理数的定义。
所建立的数系是同构的。
自然数的两大基本理论：基数理论和序数理论
基数理论当我们把所有表示数量的符号放在一起就得到了一个集合，我们称之为“数集”，为了度量“数集”当中表示数量的符号个数，我们首先要定义一个概念就是“基数”。19世纪中叶，数学家康托以集合理论为基础提出了自然数的基数理论。等价集合的共同特征称为基数。对于有限集合来说，基数就是元素的个数。自然数就有有限集合A的基数叫做自然数。记作“”。当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。空集的基数就是0。而一切自然数组成的集合，我们称之为自然数集，记为N。
序数理论皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论，进而完全确立了数系的理论。是根据一个集合里某些元素之间有“后继”这一基本关系和五条公理（皮亚诺公理），把自然数集里的元素按1、2、……这样一种基本关系而完全确定下来。
定义非空集合N中的元素叫做自然数,如果N的元素之间有一个基本关系“后继”(b后继于a,记为b=a′)，并满足下列公理：
（1）0∈N；
（2）0不是N中任何元素的后继元素；
（3）对N中任何元素a，有唯一的a′∈N；
（4）对N中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后继于N中某一元素b；
（5）（归纳公理）如果MN，而且满足条件:①0∈M；②若a∈M，则a′∈M.那么，M=N这样，所构成的系统称为皮亚诺公理系统，它就是自然数系。
自然数0是作为空集的标记。在空集中，“0”作为记数法中的空位，在位置制记数中是不可缺少的。
自然数系所蕴含的思想
对应思想（可数的集合）自然数建立在对应概念之上，而且对应的思想也成为自然数的一个重要性质。一一对应关系是集合论中建立两个集合“相等”关系的一个重要概念。（导致了俗称“理发师悖论”的罗素悖论的发现）德国策梅罗提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，后又经过德国弗芝克尔改进形成了一个无矛盾的集合论公理系统（ZF公理系统）。数位思想
位置制记数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数。用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值。十进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。
负数的数学含义至少包括如下几个方面：+a与-a表示一对相反意义的量。引入负
数学符号有两种重要属性：抽象性和形象性。数学符号的意义在于：有了数学符号，才使得抽象的数学概念有了具体的表现形式，才使得具有一般意义的推理和运算、抽象的数学思维能以直观的、简约的形式表现出来。
字母代表数代数，原意就是指“文字代表数”的学问。使得许多算术问题可以转换为代数方程问题求解。根本的内涵是“未知数的'符号x可以和数一样进行四则运算。文字代表数的真正价值在于：字母能够和数字一起进行四则运算和乘方、开方，进行指数、对数、三角等运算，乃至对字母进行微分、积分运算等等。
解析式数字、字母、运算符号按照一定规律有意义地结合而成的符号组合。解析式中的字母可以有不同的含义不同的含义不影响它基本运算规律和变形规则。解析式可以区分为两大类：一类是只含有代数运算的解析式叫代数式，没有开方运算的代数式称为有理式，否则称为无理式；没有除法运算的有理式称为整式，否则称为分式；没有加、减运算的整式称为单项式，否则称为多项式。另一类是包含初等超越运算的解析式统称为初等超越式，简称超越式。它包括指数式、对数式、三角函数式、反三角函数式。
解析式的恒等变形把一个给定的解析式变换为另一个与它恒等的解析式，叫做解析式的恒等变形。恒等是相对的。式的恒等变形也是可以连写的，因为它们对一切数，代入式都相等。但是，解方程时的同解变形，不是恒等变形，。代数式数学的符号语言
代数式是在数系基础上发展起来的。在初等代数中，所涉及的运算可分为两大类：1代数运算2初等超越运算：指数是无理数的乘方、对数、三角、反三角运算。
定义，在一个解析式中，如果对字母只进行有限次代数运算，那么这个解析式就称为代数式；如果对字母进行了有限次的初等超越运算，那么这个解析式就称为初等超越式，简称超越式。还可以进一步分类：只含有加、减、乘、除、指数为整数的乘方运算的代数式称为有理式；其余的代数式称为无理式；在有理式中，只含有加、减、乘运算称为整式（或多项式），其余的有理式称为分式。
“数”发展到“式”的意义导致了运算形式化、程序化及规则的公理化，包含了计算对象扩大化，即数系的扩大化问题。将抽象的符号运算应用到更一般的对象上，开辟了构造数学的新方向，为抽象代数学的发展埋下了伏笔，成为近代数学的显著特征。
数学符号具有重要的属性一是它的抽象性。符号代表了事物本质的特征，从而具有代表性和一般性。另一个重要的属性在于它的形象性。数学符号不但精确地表示数学抽象，而且是抽象内涵的简约形象。等式和方程
（一）方程的含义“含有未知数的等式叫方程”。这个定义简单明了，为大家所习用。不过，这个定义有不足。“方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。”把方程的核心价值提出来了，即为了寻求未知数。
判断一个代数式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知数。方程的概念一般用于两个领域：“求某个未知数的数”和“曲线与方程”在这两个领域中“方程”的概念本身并没有变化，而是研究的问题有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者则希望研究的是这些解的分布情况。方程解的个数（或解集的大小）与方程的存在域的大小有直接关系。
方程的分类依照方程解的个数分，可将方程分为无解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多个解、有无穷多个解和全体实数解等。方程按照它所含有的未知数的个数来分类：集。两个不等式的解集相同，则称这两个不等式是同解的。
不等式有三个基本性质：1不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，2不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变3不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。不等式的实际应用在运动变化过程中，如果用函数模型刻画运动变化的两个变量x、y之间的关系，那么.方程模型刻画的是x、y变化过程中某一瞬间的情况，而不等式模型刻画的是变化过程中x、y之间的大小关系，是更普遍存在的状态。不等式尤其在解决“最值”问题上具有广泛的应用。不等式蕴含的思想
（一）模型思想与相等现象相比，不等现象是现实世界中更为普遍的现象，不等式是一元方程、二元方程、多元方程等。
方程借助用字母表示数的代数思想，将未知数同已知数一起描述问题的代数表达形式，形成了方程的基本思想。
方程思想具有很丰富的含义，其核心体现在：一是模型思想，二是化归思想。学习方程内容最主要的事情集中在两个方面。一方面是建模，另一方面是会解方程。关于方程建模大自然的许多客观规律都表现为量与量之间的某种关系，将它表示出来往往就是一个方程式。初中方程的教学不能过分地停留在数学层面上必须使学生真正体会到数学与现实生活密不可分的联系。体会方程是一种用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。必须学会抽象将关系抽象为数学符号。
方程设计思想的思路先进行生活中的提炼，然后到数学表达，到形式化的方程，再到最终解决方程问题。
初中数学方程的常见解法：换元法、因式分解法、图像法、求根公式法。
等式与方程的关系建立方程是借助等式作为其上位概念来完成的。方程是一种特殊的等式，是在说明相等是怎么回事，等式可以是数字之间的相等，可以是恒等，而方程刻画的可以是两件事情之间的相等，可以是有条件的相等，也可以使一种随机的相等。不等式
学习的意义不等式可以表示一种界限，本身就是一种规律。其次，研究不等式可以导致等式。最后，不等式在几何上可以表示一个区域。
不等关系与相等关系既是矛盾独立的，也是相互统一的。不等关系往往可以等价地转化为相等关系加以解决。
不等式的含义两个实数或代数式用符号连接起来的所得到的式子叫做不等式。如果不论用什么实数代替不等式中的字母，它都能够成立，这样的不等式叫绝对不等式，如果只用某些范围内的实数代替不等式中的字母，它才能够成立，这样的不等式叫条件不等式。如果不论用什么样的实数值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，这样的不等式叫矛盾不等式。当不等号两边的解析式都是代数式时，称为代数不等式；两边的解析式至少有一个是超越式时，称为超越不等式。不等式解集表示方法
不等式所有解的集合，叫做解集。求不等式解集的过程叫解不等式。不等式组中每一个不等式解集的交集叫做不等式组的解集。
一个不等式的解集表示方法1数轴表示法即在数轴上把不等式的解集表示出来。2集合表示法即用集合来表示不等式的解集。3区间表示法即用区间来表示不等式的解
刻画不等现象的有力模型。通过分析实际问题中的数量关系，列出不等式，通过解不等式得到实际问题的答案，这就体现了不等式的模型思想。同时，这种模型经常与函数、方程联系在一起，三者都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，在解决实际问题时，要合理选择这三种重要的数学模型。（二）辩证思想通过c=a-b的媒介作用，不等式a>b与等式a=b+c建立了一种“等价”关系。这是一种辩证关系。恰当地运用这种思想可以轻松地化解相当多的问题。（三）数形结合思想根据题意可列出不等式组，运用数轴表示不等式组的解集，可以直观形象地解决问题。这种思想正是数形结合思想。函数
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
1755年，欧拉首次给出了函数变量定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面的变量变化时，前者的这些量也随之变化，则将前面的变量称之为后一些变量的函数。”由此演变为目前的函数的“变量说”黎曼在1851定义：“我们假定z是一个变量，如果对它的每一个值，都有未知量W的每一个值与之对应，则称W是Z的函数。”。1939年，布尔巴基学派主借用了笛卡儿积建立关系，进而定义函数：
1）对
中每一个元素
，存在
，使
；
（2）若且，则。函数记作：”分别称以上函数定义为变量说、对应说和关系说。函数概念的核心思想
数学的核心是研究关系，即数量关系、图形关系和随机关系。函数研究的是两个变量之间的数量关系：一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也发生变化，这就是函数表达的数量之间的对应关系。其中有三点是重要的，一是变量的取值是实数；二是因变量的取值是唯一的；三是必须借助数字以外的符号表示函数。函数的表达方式一般有三种：解析式法，表格法，图像法。
解析式是最常用的方法，适用于表示连续函数或者分段函数。解析式有利于研究函数性质，构建数学模型，但对初学者来说也是抽象的。列表法适用于表达变量取值是离散的情况。利用图像法可以直观地表述函数的形态，有利于分析函数的性质，但作图是比较困难的，用何种方法表达函数可因题而议。中学数学研究的函数性质
数学中研究函数主要是研究函数的变化特征。中学阶段主要研究函数的周期性，也涉及
奇偶性；在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性，也讨论某些函数的奇偶性。（一）函数的周期性周期性反映了函数变化周而复始的规律。是中学阶段学习函数的一个基本的性质。周期函数是刻画周期变化的基本函数模型，使我们集中研究函数在一个周期里的变化，了解函数在整个定义域内的变化情况。
（二）函数的奇偶性函数的奇偶性也是我们在中学阶段学习函数时要研究的函数的性质，但它不是最基本的性质。奇偶性反应了函数图形的对称性质，可以帮助我们用对称思想来研究函数的变化规律。
（三）函数的单调性单调性是讨论函数“变化”的一个最基本的性质。从几何的角度看，就是研究函数图像走势的变化规律。函数与其它内容的联系
（一）函数与方程用函数的观点看待方程可以把方程的根看成函数与x轴交点的横坐．解析几何的产生与发展
笛卡尔提出了平面坐标系的概念，实现了点与数对的对应，将圆锥曲线用含有两面三刀个求知数的方程来表示，并且形成了一系列全新的理论与方法，解析几何就这样产生了。现代几何的产生与发展
人们不断发现《几何原本》在逻辑上不够严密之处，在尝试用其他公理、公设证明第五公设“的失败，促使人们重新考察几何学的逻辑基础，并取得了两方面的突出研究成果。初中数学课程中的几何学内容
（一）直观几何几何学是其中研究“形”的分支。几何图形可以直观地表示出来，人们认识图形的初级阶段，主要依靠形象思维。“形象思维”也就是强调几何直观。
（二）演绎几何几何图形本身具有抽象性和一般性，一种几何概念可能包含无限多种不同的情形，因此，研究图形的形状、大小和位置关系时，不能仅仅依靠直观实验的方法，标，即零点的横坐标。方程可看作函数的局部性质，求方程的根就变成了求函数图形与x轴的交点问题。
（二）函数与数列数列是特殊的函数。它的定义域一般是指非负的正整数集，有时也可以为自然数集，或者自然数集的子集。数列通常称为离散函数。等差数列是线性函数的离散化，而等比数列是指数函数的离散化。
（三）函数与不等式我们首先确定函数图像与x轴的交点（方程f(x)=0的解），再根据函数的图像来求解不等式。
（四）函数与线性规划是最优化问题的一部分，从函数的观点看，首先，要确定目标函数，用目标函数来刻画“好、坏”或“大、小”等，接着，需要确定目标函数的可行域。最后，讨论目标函数在可行域（由约束条件确定的定义域）内的最值问题。
解线性规划问题，可归结为以下算法：第一步，确定目标函数；第二步，确定目标函数的可行域；第三步，确定目标函数在可行域内的最值。函数模型
函数是对现实世界数量关系的抽象，是建立思想模型的基础，具有良好的普适性和代表意义。现实生活中，普遍存在着最优化问题----最佳投资、最小成本等，常常归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数建模的思想进行解决。在运用一次函数知识和方法建模解决时，有时要涉及到多种方案，通过比较，从中挑选出最佳的方案。
在实际的教学中，除了使学生了解所学习的函数在现实生活中有丰富的“原型”之外，还应通过实例介绍或让学生通过运算来体验函数模型的多样性。
通过实例，让学生体会、感受数据拟合在预测、规划等方面的重要作用，使学生们学会用数学的知识、思想方法、数学模型解决实际问题，提高运用数学的能力．要鼓励学生收集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例进行探索实践．第二章图形与几何四个基本阶段。
实验几何的形成和发展
人们在观察、实践、实验的基础上积累了丰富的几何经验，形成了一批粗略的概念，反映了某些经验事实之间的联系，形成了实验几何。理论几何的形成和发展
柏拉图把逻辑学的思想方法引入几何学，确立缜密的定义和明晰的公理作为几何学的基础，欧几里德按照严密的逻辑系统编写的《几何原本》奠定了理论几何的基础。而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括逻辑推理。
以一些原始概念和公理为出发点，逐步对一些几何概念做比较逻辑化的描述，进行一些基本推理和论证。虽然也借助直观和少量代数公理，但是，主要立足逻辑进行几何概念及其性质的分析研究，这就是演绎几何。
（三）度量几何对一些图形进行度量，包括长度，面积，体积，角度等，适当的延伸。（四）变换几何也叫运动几何。这个领域主要讨论平移、旋转、反射等刚体运动，以及相似变换、拓扑变换，并借以研究图形的全等、对称等概念，了解变换之下的不变量。（五）坐标几何即解析几何。在解析几何中，首先是建立坐标系。坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。
经验几何所谓经验几何，通常是直观几何、实验几何的通称，它特别关注学生几何活动经验的积累，以及几何直觉的发展。经验几何的作用
几何学是研究现实世界物体的形状、大小和位置关系的学科,而后发展成为研究一般空间结构、图形关系的学科。
（一）经验几何则是发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重大的作用，而论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用。（二）经验几何是学习推理论证几何的必要前提。
学习的内容是由非形式化的推理逐渐提升到形式化的推理，透过直观几何与实验几何的充分学习，对几何对象的熟悉及非形式化的推理，达到知觉性的了解、操作性的了解，进而形成几何推理。
另一方面，我们用来作为推理基础的几何性质，一部分是利用实验归纳的方法得来的，另一部分则是利用已知的几何性质进行“推论”而导出的结果。
（三）实验几何是几何学习的一个阶段和一种认知水平，更是一种几何学习方法。总之，实验几何作为几何学习的一个阶段，在学生几何学习过程中起到承上启下的衔接作用；同时，实验几何是贯穿从直观几何到论证几何学习的一种有益于发现真理、几何直观几何直观具有发现功能，同时也是理解数学的有效渠道。数学概念经过多级抽象充分形式化后，有必要以相对直观可信的数学对象为基础进行理性重建，从而达到思维直观化的理想目标和可应用性要求,这要求数学的直观与形式的统一，才使得数学的完美。
几何直观及其作用《数学课程标准》（修订稿）指出，几何直观主要是指利用图形描述
和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。
几何直观对于学生的数学发展非常重要：
首先，几何直观是一种创造性思维，是一种很重要的科学研究方式，在科学发现过程中起到不可磨灭的作用。对于数学中的很多问题，灵感往往来自于几何直观。数学家总是力求把他们研究的问题尽量变成可借用的几何直观问题，使他们成为数学发现的向导，随着现代科技的发展，几何直观在计算机图形学、图象处理、图象控制等领域都有诱人的前景。
其次，几何直观是认识论问题，是认识的基础,有助于学生对数学的理解。
借助于几何直观、几何解释，能启迪思路,可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法，抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考一般地，周长指封闭曲线一周的长度。（二）面积
物体的表面是一个二维的图形，直观地感觉它所占有的区域具有一定的大小，对一个二维图形的表面进行度量以后，用一个“数”标志它的大小，称这个数为该图形的面积。人们约定，将边长为1米的正方形的面积规定为1平方米。
于是，对于边长为整数a米、b米的矩形，总可以将其剖分为若干个边长为1米的正方形，进而，这个矩形就由ab个单位正方形组成，从而，这个矩形的面积为ab平方米（整数）。如果矩形的边长A，B是无理数，而且仍用边长为1的正方形去度量，那么，还要使用极限过程，用一列有理数逼近无理数，an→A,bn→B。依据anbn→AB，以及有理数边长的矩形面积公式，最后得出，矩形的面积也是AB。
这个过程实际上论证了“边长相等的两个矩形的面积的比，等于它们不相等边的长度的的机会，揭示经验的策略，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程；使学生从非形式化的、算法的、直觉相互作用与矛盾中形成数学观。
最后，几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，有助于形成科学正确的世界观和方法论。借助几何直观，揭示研究对象的性质和关系，使思维很容易转向更高级更抽象的空间形式，使学生体验数学创造性工作历程，能够开发学生的创造激情，形成良好的思维品质。
直观几何主要包含哪些内容
以大量丰富的实例为背景，通过观察、操作来探索认识基本图形的性质。这些基本图形主要包括点、线、面、角、平行线、相交线、三角形四边形、圆等，除此之外，还包括尺规作图、视图和投影等。这些内容构成直观几何的重要组成部分。经验几何的具体研究内容
初中几何的主要课程教学目标在于，“积累几何活动经验，发展几何直观、空间观念，进一步感受几何推理的魅力，体会几何的美，初步掌握几何推理的基本形式”，而发展几何直观、积累几何活动经验、培养空间观念，则是经验几何的核心目标。按照初中阶段的经验几何认识过程的不同，通常可以将经验几何的学习内容，分成认识图形、进行立体图形与平面图形的转换、在运动与变换中研究几何图形的有关性质三部分。度量几何几何学起源于图形大小的度量。根据图形的维数，把度量一维图形大小的数称为长度，而将二维图形的大小用面积来表示，体积则是标志三维图形大小的数。线段长度是一切度量的出发点。
长度的含义线段“两端之间的距离”。所谓距离。罗兰德（Rowland）首先使用光栅测量一公尺长度中的波长数。1960年以后，用激光定义“米”。
目前，国际上采用的长度单位，是在1983年10月确定的，即第十七届国际权度大会重新把国际标准制（SI）中的长度单位──“米（meter）”定义为：光于299,792,458分之1秒内在真空中所走的长度，称为“米”。
如果可以用一个线段e衡量两条线段M，N，使得M，N都是e的整数倍，我们称两个线段M，N是可公度的。
辗转相除方法，用后次的an截取前次的an-1，即较长的那个线段减去短的那个线段，如此辗转截取，直到两个线段一样长，这个长度就是公度量。古希腊的毕达哥拉斯学派，发现正方形的边与其对角线不可公度3.周长“圆、椭圆或其它闭合的曲线的周界长度。”
比”。
海伦-秦九韶公式
刘徽用割圆法求圆面积大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明。将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差越来越小，其极限值就是所要求的圆面积。印度圆取两个相等的圆，把它们等分成相同的若干个全等扇形，然后把它们沿半径剖开（但扇形的圆弧仍然连着）、展平成锯齿条形然后，把两个锯齿形互相嵌入即成一个近似的矩形。份数分得愈多，其结果愈接近矩形，这个矩形的高为圆半径r，底为圆周长c，面积为rc，从而得圆面积为.体积是指物质或物体所占空间的大小。
（1）直接度量法。把一种叫做“单位正方体”的空间图形尽可能地堆放在要度量的几何体内，如果被度量的几何体恰好被a个正方体填满，那么这个几何体的体积就等于几个单位体积。（2）间接度量法。量出被度量的几何体中某些线段的长度，再利用有关公式计算出这个几何体的体积。“面积公理”与测度公理
既然图形是一个集合，而相应的图形的面积是一个数，所以，面积是定义在“集合族”之上的一个函数。这个集合函数显然是非负函数，而且正方形的面积是1。当然，两个不重叠的图形之并的面积，必须等于两个图形的面积之和。最后，如果图形经过移动、旋转、反射，其面积应该不变。这些性质放在一起，就成为面积公理的内容。对于周长一定的矩形来说，边长相等时矩形面积最大，即正方形的面积最大。（2）对于面积一定的矩形来说，边长相等时矩形周长最小，即正方形的周长最小。事实上，这个结论可以推广为：在周长相等的情况下，越接近圆的图形面积就越大，如，第四节变换几何
变换就是一个集合到另一个集合的映射。几何变换、变换群的概念
几何变换，就是将几何图形按照某种法则或规律变成另一种几何图形的过程。它对于几何学的研究有重要作用。
变换群。实际上是满足一定条件的若干变换组成的集合：如果某种几何变换的全体组成一个群，就有相应的几何学，而讨论在某种几何变换群下图形保持不变的性质与不变量，就是相应几何学的主要内容。
在初等几何中，变换主要包括全等变换，相似变换，反演变换。
全等变换
如果从平面(空间)到其自身的映射，对于任意两点A、B和它们的像A/，B/总有A/B/=AB。则这个映射叫做平面（空间）的全等变换，或叫做合同变换。在平面内存在两种全等变换，第一种叫做正常全等变换第二种叫做反常全等变换（镜像全等变换）,它把一个图形变成与它反常全等的图形,即对于两个全等的图形上每两个对应三角形有相反的方向，并且每两个对应的有向角有相反的方向。相似变换，第一种叫做真正相似变换（正相似变换），第二种叫做镜像相似变换（负相似变换）。真正相似变换把一个图形变换成与它真正相似(正相似)的图形,即使得两个相似图形的每对对应三角形有同一的方向,每对对应角有同一方向。反演变换
在平面内设有一半径为R，中心为O的圆，对于任一个异于O点的点P，将其变从认知规律看，几何学习的基本途径,主要是四步：直观感知→操作确认→演绎推理→度量计算。
欧几里得与演绎几何
公理化方法渊源于几何学，而几何学起源于埃及。
希腊数学家欧几里得编成了《几何原本》一书。这本书内容丰富，结构严谨，对于几何学的发展和几何学的教学都起了巨大的作用，它被人们赞誉为历史上的科学杰作。欧几里得《原本》，原说有15卷，经后人多方面考证，公认只有13卷。欧几里得《原本》对于几何直观、演绎推理进行处理的利弊得失
《原本》作为教科书使用了两千多年。在形成文字的教科书之中，无疑它是最成功的。欧几里得的杰出工作，使以前类似的东西黯然失色。该书问世之后，很快取代了以前的几何教科书，而后者也就很快在人们的记忆中消失了。在训练人的逻辑推理思维方面，换成该射线OP上一点P/，且使OP/OP=R，这个变换叫做平面反演变换。圆O叫做反演基圆，圆心O叫做反演中心或反演极，R叫做反演半径或反演幂，反演变换将过反演中心的射线变成自身，且在此射线上建立对合对应，它使位于圆内的点变成圆外的点,位于圆外的点变成圆内的点，反演中心变成平面内的无限远点。而反演圆上的点则保持不变。空间反演变换可以看作是平面反演变换绕反演基圆的直径旋转而得。反演变换下，将不过反演中心的直线或平面，分别变成过反演中心的圆或球面；将不过反演中心的圆或球面，分别变成另一个不过反演中心的圆或球面。反之，也成立。演变换是反向保角的，即使两线（或两面）所成的角度的大小保持不变，但方向相反。合同变换：平移，旋转，反射平移、旋转与反射的初步描述
图形相似的思想方法体现在图形相似的概念、性质和处理问题的手段之中。我们可以将其归结为如下五个方面：
（1）图形相似问题的核心往往在于三角形相似与成比例线段，体现出化归思想
（2）图形相似是反映大自然奥秘的一个窗口，图形相似在自然、社会和人类生活中具有广泛的普适性。
（3）结构相同，即“同构”，是图形相似的重要特征之一。相似可以帮助我们从局部来研究整体。
（4）图形相似提供了认识三角形的另一个途径，三角形相似的判别方法可以强化我们对三角形构成元素的认识。
（5）借助必要的工具和手段是学好图形相似的必要前提。平面图形初等变换之间的关系
（一）平移、旋转、反射变换是全等变换
（二）平移、旋转都可以由若干次反射（轴对称）的复合而得到。
对于平移、旋转和轴对称（反射）来说，虽然三者都是全等变换，但是，容易发现，其中，轴对称（变换）更为基本。
（1）对同一个图形连续进行两次轴对称，如果两个对称轴互相平行，那么，这两次轴对称的结果等同于一次平移；
（2）对同一个图形连续进行两次轴对称，如果两个对称轴相交，那么，这两次轴对称的结果等同于一次旋转，旋转中心就是两条对称轴的交点。反过来，对一个图形实施一次平移，都可以通过连续的两次轴对称来替代完成；对一个图形实施一次旋转，可以通过连续的两次轴对称来完成。
（3）任意一个合同变换至多可表示为三个反射的乘积。第五节演绎几何《原本》比亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多。在完整的演绎推理结构方面，这是一个十分杰出的典范。正因为如此，自本书问世以来，思想家们为之而倾倒。公正地说，欧几里得的这本著作是现代科学产生的一个主要因素。科学绝不仅仅是把经过细心观察的东西和小心概括出来的东西收集在一起而已。科学上的伟大成就，就其原因而言，一方面是将经验同试验进行结合；另一方面，需要细心的分析和演绎推理。可以肯定地说，这并非偶然。毫无疑问，像牛顿、加利略、白尼和凯普勒这样的卓越人物所起的作用是极为重要的。也许一些基本的原因，可以解释为什么这些出类拔革的人物都出现在欧洲，而不是东方。或许，使欧洲人易于理解科学的一个明显的历史因素，是希腊的理性主义以及从希腊人那里流传下来的数学知识。对于欧洲人来讲，只要有了几个基本的物理原理，其他都可以由此推演而来的想法似乎是很自然的事。因为在他们之前有欧里得作为典范。
欧几里得对牛顿的影响尤为明显。牛顿的《数学原理》一书，就是按照类似于《原本》的“几何学”的形式写成的。自那以后，许多西方的科学家都效仿欧几里得，说明他们的结论是如何从最初的几个假设逻辑地推导出来的。许多数学家，像伯莎德罗素、阿尔弗雷德怀特海，以及一些哲学家，如斯宾诺莎也都如此。同中国进行比较，情况尤为令人瞩目。多少个世纪以来，中国在技术方面一直领先于欧洲。但是，从来没有出现一个可以同欧几里得对应的中国数学家。其结果是，中国从未拥有过欧洲人那样的数学理论体系（中国人对实际的几何知识理解得不错，但他们的几何知识从未被提高到演绎体系的高度）。直到1600年，欧几里得才被介绍到中国来。此后，又用了几个世纪的时间，他的演绎几何体系才在受过教育的中国人之中普遍知晓。
如今，数学家们已经认识到，欧几里得的几何学并不是能够设计出来的惟一的一种内在统一的几何体系。在过去的150年间，人们已经创立出许多非欧几里得几何体系。自从爱因斯坦的广义相对论被接受以来，人们的确已经认识到，在实际的宇宙之中，欧几里得的几何学并非总是正确的。便如，在黑洞和中子星的周围，引力场极为强烈。在这种情况下，欧几里得的几何学无法准确地描述宇宙的情况。但是，这些情况是相当特殊的。在大多数情况下，欧几里得的几何学可以给出十分近似于现实世界的结论。不管怎样，人类知识的这些最新进展都不会水削弱欧几里得学术成就的光芒。也不会因此贬低他在数学发展和建立现代科学必不可少的逻辑框架方面的历史重要性。爱因斯坦更是认为，“如果欧几里得未激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家。”由此可见，《原本》一书对人类科学思维的影响是何等巨大。
从数学教育的角度看，欧几里得的逻辑结构是串联型而不是放射型的，《原本》的每一节都那么重要，一节学不好，继续前进的路就断了，更令人头痛的是它没有提供一套强有力的、通用的解题方法。主要解题工具是三角形的全等和相似，而许多几何图形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作辅助线，从而几何被公认为难学的一门课程。值得一提的是，欧式几何几乎是历次中外数学课程教学改革的焦点。《原本》几乎包括了中小学所学习的平面几何、立体几何的全部内容。如此古老的几何内容，自然成了历次数学课程改革关注的焦点。其中，最为激进的，如法国布尔巴基学派主要人物狄奥东尼，甚至喊出了“欧几里得滚出去”的口号。但是，改来改去，欧几里得几何的一些内容，仍然构成了多数国家中小学数学几何部分的主要内容。有人称之为“不倒翁现象”。这是因为，欧氏几何从数学的视角，提供了现实世界的一个基本模型，非常直观地反映了我们人类的生存空间，刻画了我们视觉所观察到的物体形状及其相互位置关系。所以，这个模型的基本内容是学生能够理解和掌握的，而且应用广泛的基础知识。它比三种几何的关系
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此，这三种几何都是正确的。在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。
义务教育阶段几何课程内容的基本定位义务教育阶段几何课程设计的特点简析义务教育阶段几何课程设计的特点与以往的综合几何课程设计风格相比，《数学课程标准》下的几何已经将直观几何和实验几何的触角伸向了小学低年级，同时欧氏几何的体系和内容整体上还是基本保留的。只不过，具体的要求有所降低了，这种降低一方面体现在对推理几何的难度要求有所限较适合中小学生学习，也有利于引导中小学生从形的角度去认识我们周围的物体和生活空间。
尽管欧氏几何仍然具有难以替代的学习价值，但在以往的教学中，它又确实逐步暴露出一些问题，例如，内容体系比较封闭，脱离实际，教学代价太大等等。①这些问题需要数学课程的设计者与数学教学的实践者共同去面对、去解决。一条途径是教学法方面的改进。首先是内容的精简与演绎体系的通俗化。如精选一些具有实用价值和对继续学习发挥基础作用的内容，打破封闭的公理体系，扩大公理系统，降低证明难度等等。其次是突出几何事实与几何应用，重视几何直观，以及合情推理对于演绎推理的互补作用等非形式化策略。另一条途径是，用近现代数学的观点，高屋建瓴地处理传统的内容。其中几何图形的运动变换观点就是这样的重要观点之一。
从国际上数学课程改革的历程来看，第二次世界大战以后，特别是在上世纪60年代的“新数学”改革的浪潮中，将运动观点引入几何，成了一种时尚。确实，图形的变换是研究几何问题的有效工具，引进变换能使图形动起来，有助于发现图形的几何性质。相关的许多实验，有的因观点太高而失败，但也有许多成功的尝试。特别是平移、旋转以及轴对称、中心对称等观念已被不少国家的中小学教材所吸收，并放在比较重要的位置。如果说，集合与对应思想的渗透，在某种意义上给传统算术与代数注入了新的血液，那么，运动变换观点的渗透，则在一定程度上给欧氏几何提供了更高的数学观点和更新的研究视野。
对第五公设是否独立的研究导致了非欧几何的发现。
非欧几何，即非欧几里得几何，是一门大的数学分支，一般来讲，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。罗巴切夫斯基几何
家罗巴切夫斯基发现非欧几何--罗氏几何为止，肯定了第五公设与欧氏系统的其余公理是独立无关的。黎曼几何
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。制，另一方面体现在，弱化了相似形和圆的证明部分。同时，弱化了的部分也还会在高中继续出现。
新理念下义务教育阶段几何课程设计的突出特点体现为：以“立体平面立体”为主要线索，强调与学生生活的联系；适当地拓宽活动领域，包括图形的认识，图形的变换，图形与位置等方面；以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式，强调学生的直观体验学习的方法；注重发展的空间观念，发展对图形的审美能力；强调几何真理的发现和几何论证并举，主张建立在几何直观和丰富几何活动经验基础之上的几何推理的学习。
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中，而且在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则证明（包括逻辑和运算）结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。
直观几何、实验几何课程设计特点与综合几何的差异
与综合几何相比，直观几何、实验几何有着更现实的意义和课程设计的特色：
1．不同的课程目标和价值取向
从课程设计的角度看，直观几何与实验几何更接近于认知发展取向的课程设计模式，而综合几何属于典型的学术主义价值取向的课程设计模式。
2．不同的教育学、心理学基础和不同的师生关系
以论证为主的综合几何课程设计，立足于行为主义心理学，主张师生之间建立“以教为主、以教促学”的师生关系。相比之下，直观几何、实验几何课程设计观认为，有意义的几何教学应当建立在学生的主观意愿和知识、经验基础之上，依赖学生的动手实践、自主探索和交流合作，教师在教学中的角色应该定位在学习的组织者、引导者和合作者、参与者，注意学生在学习中所处的不同文化环境、教室文化、社区文化、家庭文化及自身思维模式的共性与差异，师生之间、学生之间应该努力构建一种和谐、互动的新关系。
3．不同的课程设计风格
在课程论中，课程有学科型课程与经验型课程之分。除了学科型课程和经验型课程外，大多数课程介于两者之间。直观几何、实验几何属于典型的经验型课程，而综合几何属于典型的学科型课程。当前，我国实行的义务教育课程标准实验教科书大多介于学科型课程与经验型课程之间，只不过，有的更靠近后者，即比较“前卫”，而有的更靠近前者，“中规中矩”。
4．不同的教学要求
在直观几何、实验几何课程实施过程中，学生的直观感受和几何活动经验是学习的基本出发点和必不可少的载体，而且直观教学变得十分重要。在这种课程设计时，有的是在抽象的学科主线中不断闪现出内容丰富的情景问题，有的是把丰富的情景问题沿几何的主线逐步镶嵌与展开。几何学是研究平面图形的形状、大小和位置关系的科学，培养和提高学生识图、作图能力是学好几何的必要环节。因而，在直观几何、实验几何课程设计模式下，采用直观教学至关重要，可使学生一开始便进入到直观教学所创设的情尽管全国初中数学课程标准实验教科书彼此之间都有差异，但是，发展几何直观与推理
能力是普遍趋势。第三章统计与概率
准确理解数学、概率、统计之间的关系
（一）研究问题的出发点不同数学研究的对象是从现实生活中抽象出来的数和图形。数学研究问题必须有定义，即数学研究问题的出发点是定义，没有定义无法进行数学的研究。统计研究所依赖的是模型，构建一些模型的基础上进行研究。但是，统计与数学有着密切的联系，我们拿来数学的很多知识、思想方法作为统计分析的工具。
（二）研究问题的立论基础不同从数量和数量关系这个角度考虑，数学是建立在概念和符号的基础上的。而统计学是建立在数据和模型的基础上，虽然概念和符号对于统计学的发展也是重要的，但是统计学在本质上是通过数据和模型进行推断的。
境之中，耳濡目染，受到感染，教师若采用图片直观，便可展现情景，给学生以鲜明生动的形象，学生的注意力很快被吸引到图片所展示的情境中。如何理解初中几何及推理
新理念下义务教育阶段几何课程设计的突出特点体现为：以“立体平面立体”为主要线索，强调与学生生活的联系；适当地拓宽活动领域，包括图形的认识，图形的变换，图形与位置等方面；以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式，强调学生的直观体验（几何课与实际活动课有天然的联系）学习的方法（即“操作”+“推理”）；注重发展的空间观念，发展对图形的审美能力；强调几何真理的发现和几何论证并举，主张建立在几何直观和丰富几何活动经验基础之上的几何推理的学习。
初中阶段属于从直观几何、实验几何逐步过渡到综合几何、论证几何的关键阶段，七年级仍是直观几何、实验几何，但包含一点点说理，而九年级已经是综合几何、推理几何，虽然其公理体系与欧式公理体系有所不同。
在义务教育数学课程标准下，“图形与几何”主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。
在“图形与几何”的核心课程教学在于：帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。
如何理解初中几何的核心目标发展几何直观与推理能力
在“图形与几何”的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中，而且在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实出发，按照规定的法则证明结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。基于此，《数学课程标准》把认识或把握空间与图形作为主旋律，以图形的认识、图形与变换、图形与位置（坐标）、图形与证明四条线索展开空间与图形的内容。
（三）研究问题的方法不同与概念和符号相对应，数学的推理依赖的是公理和假设，是一个从一般到特殊的方法，而统计学的推断依赖的是数据和数据产生的背景，强调根据背景寻找合适的推断方法，是一个从特殊到一般的方法。
（四）研究问题的判断原则不同数学在本质上是确定性的，它对结果的判断标准是对与错，从这个意义上说，数学是一门科学，而统计学是通过数据来推断数据产生的背景，即便是同样的数据，也允许人们根据自己的理解提出不同的推断方法，给出不同的推断结果，统计学对结果的判断标准是好与坏，从这个意义上说，统计学不仅是一门科学，也是一门艺术。
数理统计方法的基本步骤建立数学模型，收集整理数据，进行统计推断、预测和决策。当然，这些环节不能截然分开，也不一定按上述次序，有时是互相交错的。
（1）模型的选择和建立。模型是指关于所研究总体的某种假定，一般是给总体分布规定一定的类型。建立模型要依据概率的知识、所研究问题的专业知识、以往的经验以及从总体中抽取的样本。
（2）数据的收集。其方法主要包括全面观测、抽样观测和安排特定的实验3种方式。全面观测又称普查，即对总体中每个个体都加以观测，测定所需要的指标。抽样观测又称抽查，是指从总体中抽取一部分，测定其有关的指标值。这方面的研究内容构成数理统计的一个分支学科。叫抽样调查。
（3）安排特定实验以收集数据，这些特定的实验要有代表性，并使所得数据便于进行分析。
（4）数据整理。目的是把包含在数据中的有用信息提取出来。一种形式是制定适当的图表，如散点图，以反映隐含在数据中的粗略的规律性或一般趋势。另一种形式是计算若干数字特征，以刻画样本某些方面的性质，如样本均值、样本方差等简单描述性统计量。
（5）统计推断。指根据总体模型以及由总体中抽出的样本，做出有关总体分布的某种论断。数据的收集和整理是进行统计推断的必要准备，统计推断是数理统计学的主要任务。
（6）统计预测。统计预测的对象，是随机变量在未来某个时刻所取的值，或设想在某种条件下对该变量进行观测时将取的值。
（7）统计决策。依据所做的统计推断或预测，并考虑到行动的后果而制定的一种行动方案。初中统计与概率的课程内容主要内容包括：
描述统计的进一步扩展----描述统计的基本目标在于以最简单而直观的形式最大限度地容纳有用的数据。
渗透数理统计思想----数理统计与描述统计的根本区别在于总体与样本概念的引入，它的基本思想是通过对样本的分析来推断总体的特性。这部分的一个核心的内容是抽样，如何抽样、抽样的过程、样本的多少是收集数据的一个关键问题。学习概率的初步内容-----包括运用列表、画树状图、制作面积模型、简单计算等方法得到一些事件发生的概率；通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值；通过大量丰富的实例，进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际的问题。
普查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查.总体：所考察对象的全体称为总体。个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。抽样调查：从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查。样本：从总体中抽取部分个体叫做总体的一个样本。样本容量：样本中个体的数量叫样本容量。随机事件和样本空间
在一定条件实现后，可能产生也可能不产生的现象，人们称之为随机现象。具备以下三个特点的试验称为随机试验：
信息。众数只与其在数据中重复的次数有关，而且往往不是唯一的。但不能充分利用所有的数据信息，而且当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。数据的离散程度
极差是指一组数据中的最大值减去最小值所得的差。它可以反映一组数据的变化范围。方差是指一组数据中的平均数与每一个数据之差的平方和的平均数。
样本数据的方差和标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。加权平均数的概念
加权平均数是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算，即一组数据的每个数乘以它的权重后所得积的总和。平均数称之为算术平均数，是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，
(1)可在相同条件下重复进行；
〔2)每次试验可出现不同的结果，最终出现哪种结果，试验之前不能确定；
(3)事先知道试验可能出现的全部结果。随机事件随机试验的每一个可能的结果称为一个随机事件
样本空间由样本空间的子集可描述随机试验中所对应的一切随机事件。数据的收集
数据收集方法有两种：调查和实验。在现实生活中原来就有的数据，人们通过调查获得，例如，普查，即为一特定目的而对所有考察对象的全面调查；抽样调查，即为一特定目的而对部分考察对象作调查。三种常用抽样方法是：随机抽样法、分层抽样法和系统抽样法。
数据的随机性主要有两层涵义：
一方面，对于同样的事情，每次收集到的数据可能会是不同的；
另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据的整理和分析
数据分析观念主要体现在三个方面：
第一，了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中是蕴含着信息的；
第二，了解对于同样的数据可以用多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；
第三，通过数据分析体验随机性。
理解两种估计方法，一种是用样本的频率分布来估计总体的分布，另一种是用样本的集中趋势（平均数、中位数、众数）和离散程度（极差、方差、标准差）来估计总体的集中程度和离散程度。频数和频率
我们称每个对象出现的次数为频数，也称次数。频数也称“次数”，对总数据按某种标准进行分组，统计出各个组内含个体的个数。而频率则每个小组的频数与数据总数的比值。数据的集中趋势在统计学中是指一组数据向某一中心值靠拢的程度，它反映了一组数据中心点的位置所在。反映数据集中趋势的度量包括平均数、中位数、众数等。平均数一组数据的平均数就是用这组数据的总和除以这组数据的总个数得到的值。中位数，就是将这组数据从小到达排列后，位于正中间的数（或中间两个数的平均数）。众数，是指一组数据的众数就是这组数据中出现频数最多的数。平均数、中位数和众数的联系与区别
联系：从不同角度描述了一组数据的集中趋势。区别：计算平均数时，所有数据都参加运算，它能充分利用数据所提供的信息，但容易受极端值的影响。它应用最为广泛。中位数的优点是计算简单，只与其在数据中的位置有关。但不能充分利用所有的数据当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数。
统计表不仅反映某一类事物的具体数据，而且还能说明有关数据之间的关系。统计图是借助于几何线、形(线段、长方形、三角形、圆形等)以及事物的形象等形式，显示收集到的数据信息，直观地反映其规模、水平、构成、相互关系、发展变化趋势和分布状况，即是根据统计数据所绘制的图形。条形图是以简单的几何图形，即等宽条形的长短或高低来比较数据所隐含信息的统计图示法分为单式条形图、复式条形图、分段条形图、对称条形图、距限条形图、累积条形图等。
直方图有两种，频数直方图和频率直方图。频数直方图与频率直方图既有联系，又有区别。
扇形图用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图叫做扇形统计图。扇形图能直观地、生动地反映各部分在总体中所占的比例。
扇形统计图具有四个特点：
一是利用圆和扇形来表示总体和部分的关系，
二是圆代表总体，各个扇形分别表示总体中不同的部分；
三是扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，
四是各个扇形所占的百分比之和为1；最后，在不同的统计图中，不能简单地根据百分比的大小来比较部分量的大小。折线统计图
用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来，折线统计图不但可以表示出数量的多少，还能够清楚地表示出数量的增减变化情况，并且可以进行简单的预测。折线统计图可分为单式折线图或复式折线图。统计是对随机现象统计规律归纳的研究，而概率是对随机现象统计规律演绎的研究，在解决实际问题时，二者是相辅相成、互相关联的
随机事件的概率，实质上是指在客观世界中，这个事件发生可能性大小的一个数量刻画。
概率的定义
频率是指事件发生的次数在全部试验次数中占的比例，所以频率能够反映该事件发生的可能性大小。即一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是趋近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).概率的公理化定义样本点全集叫做必然事件，空集叫做不可能事件。正确理解随机性与概率
（1）随机性和规律性。
（2）概率和机会。从某种意义说来，概率描述了某件事
情发生的机会
（3）有些概率是无法精确推断的。
（4）有些概率是可以估计的。随机结果也具有规律，而且有可能通过试验等方法来推测其规律。我们就是要通过观测数据，在随机性中寻找用概率和数学模型描述的规律性
小概率原理是统计检验（统计中的反证法）的基础和依据。小概率原理是指在一次试验中，小概率事件几乎不可能发生。《数学课程标准》认为，“统计与概率”应当是初中课程内容的重要组成部分。不仅如此，《数学课程标准》将“统计与概率”内容从第一学段连续编排到初中，并且规定，在初中，学生将从事数据的收集、整理与描述的过程，体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。《大纲》没有涉及“概率”内容，仅仅在初中阶段引入“统计初步”，并且将“统计初步”放入“代数的第（十三）部分”在《大纲》中，“统计初步”的定位是：使学生了解统计的展这一活动，有以下几个步骤：
第一，学生观察一件物体或一种现象，或者操作某些学具。
第二，学生在研究所观察的物体或现象的过程中进行思考，与同伴进行讨论和交流，以弥补他们在单纯的观察和操作活动中的不足。
第三，老师按一定的顺序给学生们推荐活动，学生可从中作出选择并实施这些活动，学生在选择中有较强的自主性。
第四，这一活动可以以课内外相结合的形式进行，学生每周至少花两个小时进行同一个主题的活动，并应保证这些活动在整个学习进程中的持续性和稳定性。
第五，每个学生都记录活动过程。通过这一活动，学生逐渐学会操作，同时加强和巩固口头和书面表达能力，发展解决问题的能力，增进对数学的理解力。如何理解数学研究性学习
思想，掌握一些常用的数据处理方法，能够用统计的初步知识解决一些简单的实际问题。简单的平均数和加权平均数
所谓加权平均数，是指各个数据的“份量”不同，有的重要些，有的轻些，将它们的重要性用“权重”表示，即加上各个数据在全体数据中占有的比例（频率）再作和。数学期望的定义事前预期的好处，就叫做这件事情的期望值。第四章实践与综合
设置“实践与综合”领域目的在于体现其桥梁作用（即，数学不同领域之间的桥梁作用以及数学与外部之间桥梁作用）和综合价值，综合运用数学知识、技能、思想、方法等解决现实问题，帮助学生积累直接的数学活动经验，发展学生的综合能力。关于“实践与综合”的教育价值和课程目标
教育价值实践与综合领域的存在，沟通了现实世界中的数学与课堂上的数学之间的联系。另一方面，综合应用数学解决问题也必将给学生的学习方式带来改变。使学生发展了意志力、自信心和不断质疑的态度，发展了运用数学进行思考和交流的能力。
课程目标《全日制义务教育数学课程标准》对这个领域的课程设计提出了的总的要求：帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。“实践与综合”在不同阶段不同的呈现形式第一学段以“实践活动”为主题，第二学段以“综合应用”为主题，第三学段(即初中阶段)以“课题学习”为主题。
在初中数学中，课题学习的主要形式有三种基本方式：
数学小调查。数学小调查是指学生在教师指导下，从学习生活和社会生活中选择和确定调查专题，主动获得信息、分析信息并做出决策的学习活动。数学调查可以包括三个阶段，第一，进入问题情境阶段；第二，收集信息的阶段；第三，表达和交流阶段。这种活动具有开放性、问题性和社会性的特点。
小课题研究。活动基本过程如下：各小组确定活动目标；根据目标确定本组活动内容；在老师指导下实际调查。合作交流。
动手做(Handson)的活动。意思是动手活动，目的在于让学生以更科学的方法学习知识，尤其强调对学生学习方法、思维方法、学习态度的培养。基本过程是：提出问题动手做实验观察记录解释讨论得出结论表达陈述。具体地说，开
数学研究性学习主要针对我国中学教育中出现的若干弊端，为实施以创新精神和实践能力为重点的素质教育而提出来的，其根本目的是让学生亲历研究过程，获得对客观世界的体验和正确认识，通过自由、自主的探究过程，综合性地提高整体素质和能力。因此，研究性学习的重点在“学习”，研究是手段、途径，而不是目的。数学研究性学习的内涵
以培养学生的数学创新意识和实践能力为目的，它主要通过与数学学科内容相关的课题，在教师的指导下，学生为主体地参与、体验问题提出和解决的全过程。使学生不但发展了思维能力，而且逐渐领悟到数学科学研究的基本过程和方法，提高学生的科数学研究性学习的目的
1.让学生经历科学研究的过程，获得亲身参与研究和探索的体验。
2.了解科学研究的方法，提高发现问题和解决问题的能力。
3.学会与人沟通和合作，学会分享。合作的意识和能力，是现代人所应具备的基本素质，而研究性学习提供了一个有利于人际沟通与合作的良好空间。
4.增强探究和创新意识，培养科学态度、科学精神和科学道德。在研究性学习的过程中，学生不可避免地会遇到一系列的问题和困难，学生必须学会从实际出发，通过认真踏实地探究，事实求是地得出结论，并且养成尊重他人的想法和成果的正确态度，同时培养不断追求的进取精神、严谨的科学态度、克服困难的意志品质等。
5.培养学生对社会的责任心和使命感形成积极的人生态度。
6.促进学生学习，掌握和运用一种现代学习方式。
7.激活各科学习中的知识储备，尝试相关知识的综合运用。8.促进教师教学观念和教学行为的变化，提升教师的综合素质，培养学生创新精神和实践能力，推进素质教育的全面实施。
初中数学研究性学习主题分为建模探究型、图表探究型、调查探究型、开放探究型四种类型。
（1）建模探究型：以学生动手操作、合作探讨、设计制作模型为主，教师给予指导、总结、评价。
（2）图表探究型：以学生观察、分析数学图表、探究解决问题的方法为主，教师提示结合相关知识分析、探究、解决问题。例如，数学图表的制作：“制作人口图”。
（3）开放探究型：以学生自主分析、小组讨论交流、大胆猜想、探究论证为主，教师给予必要的概括、提升和拓展。例如，趣味数学问题：猜想、证明、拓广。
（4）调查探究型：以学生调查实践、自主分析、探究实践的方式和方法为主，教师适时引导、提示、总结。数学研究性学习的特点
1.探究性。探究是人类认识世界的一种基本方式，处于基础教育阶段的初中生对外部
世界仍充满强烈的新奇感和探究欲，数学研究性学习正好适应学习者个体发展的需要和认识规律。
2.全员参与性。研究性学习主张全体学生的积极参与，它有别于培养天才儿童的超常教育。全员参与的另一层含义是共同参与。研究性学习的组织形式是独立学习与合作学习的结合，其中合作学习占有重要的地位。
3.开放性。数学研究性学习是一种开放性、参与性的教学形式，为了研究有关生活中的数学问题或从数学角度对其它学科中出现的问题进行研究。
4.过程性。要求学生把自己所得出的结论运用到现实生活中去，解决现实生活中涉及到的数学问题，强调学生参与的过程。
5.应用性。学以致用是研究性学习的又一基本特征。研究性学习重在知识技能的应用，而不在于掌握知识的量。
6.体验性。研究性学习不仅重视学习过程中的理性认识，如方法的掌握、能力的提高等，还十分重视感性认识，即学习的体验。数学研究性学习的实施保持和进一步提高学习数学的积极性。
（3）在实施过程中，要采取有效的手段对学习活动进行监控；指导学生写好研究数学日记，及时记载研究情况，真实记录个体体验，为以后进行和评价提供依据。
（4）要争取家长和社会有关方面的关心、理解和参与，与学生一起开发对实施研究性学习有价值的校内外教育资源，为学生开展研究性学习提供良好条件。
（5）能够根据学校与班级实施研究性学习的不同目标定位和主客观条件，在不同时段选择不同的切入口，形成不同年级的操作特点。
数学模型一般是指由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象(原型)数量规律和空间特征的数学结构。数学模型可以叙述为：对于现实世界的一个特定对象，为了实施要求：
①全员参与，而非只关注少数数学尖子学生竞争，给每个学生有锻炼与参与的机会；
②任务驱动。要向学生提出有明确具体要求的任务，发挥它对学生学习过程的引导作用；
③重在学习过程而非研究的结果；
④重在知识技能的应用而非掌握知识的数量；
⑤重在亲身参与探索性实践活动，获得感悟和体验，而非一般地接受别人传授的经验；
⑥形式上灵活多样，强调课内外结合。数学研究性学习模式有三种：
（1）理论实践模式。是指师生在共同学习研究性学习理论的基础上，学生运用数学理论来研究、解决数学问题，体验研究性学习课程理论的价值，提高综合能力的一种教学模式。
（2）数学问题探讨模式。师生围绕数学问题的分析与探讨展开的教学活动，构成了问题探讨教学模式。其基本理念在于：以激励、强化学生在教学过程中的主体参与意识为着眼点，以帮助学生学会学习，学会发现和分析问题，培养学生创造性解决问题的能力为宗旨，创设一种开放而又活泼的学习氛围。其教学策略是：将问题或案例呈现给学生，引导学生共同探讨，构建师生平等、互动的学习环境。
一般来说，教师要选择典型的数学问题或案例，不可平铺直叙地搬给学生，而要创造性地加以取舍，主动设疑，引导学生学会思考，提高学生的学习数学能力。
（3）数学课题研究模式。数学课题研究模式是指教师提供课题或由学生根据兴趣设计研究课题，并在教师的指导下自主探索、实施研究计划、完成课题目标、提高社会实践能力的一种教学模式。
组织形式有三种类型：小组合作研究、个人独立研究、全班集体研究。其中一致认为小组合作研究是最基本、最有效、经常被采用的一种组织形式。数学研究性学习实施的一般程序
一般可以分为三个阶段：
（1）进入问题情境阶段（准备阶段）。主要任务是背景知识的准备；指导学生确定数学研究课题；组织课程小组、制定研究方案。
（2）实践体验阶段（实施阶段）。本阶段学生要进入具体的解决问题过程。
（3）表达交流阶段（结题阶段）。学生将自己或小组经过实践、体验所取得的收获进行归纳整理、总结提炼，形成书面或口头报告材料，得出结论，并进行成果交流和总结反思。数学研究性学习实施中的教师指导
（1）在初中不同的学段和年级，教师的指导工作内容和方法应该有所不同。
（2）在数学研究性学习实施过程中，教师要及时了解学生开展活动的情况，有针对性地进行指导、点拨；要组织灵活多样的交流、研讨活动，促进学生自我教育，帮助他们
一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模教学的目
使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值，培养数学的应用意识，增进对数学的理解和应用数学的信心；使学生学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神；使学生学会以数学建模为手段，激发学习数学的积极性，团结合作，建立良好的人际关系、相互合作的工作能力；以数学建模方法为载体，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实以及基本的思想方法和必要的应用技能。数学建模的教学意义
1.培养学生合作学习的能力合作能力是信息社会中每个人必须具备的基本素质。
2.培养学生处理信息的能力数学建模活动则为学生学习如何选择信息、获取信息和加工信息提供了一个有效的途径。
3.有利于学生形成正确的数学观数学建模活动的开展使学生形成正确的数学观成为可能。
4.有利于学生体验数学与生活、数学与其它学科的联系
5.激发学生的数学学习兴趣
6.发展学生的创新意识数学建模的具体实施1.选题
鼓励学生自主提出问题，可以从以下几个方面人手：
①让学生了解选题的重要性和基本要求，
②指导学生结合自己的生活经验寻找课题，也可由教师介绍往届学生的选题并加以点评，或者请本班同学介绍自己的选题计划，教师和学生一起分析其可行性，
③教师创设一个问题环境，引导学生自主提出问题、确定课题。这时教师的指导应该是有启发性的，不要代替学生确定课题，而是启发学生自己去延展、开拓问题链，让学生自己提出要解决的问题和解决问题的方案。
2.实施
在课题学习的实施中，我们强调开放学生的思维，强化过程体验，师生和生生的情感交流和成果共享。
3.指导
在课题学习中，教师如何指导学生，这是一个令不少教师感到困惑甚至苦恼的问题。课题学习过程中，问题形式与内容的变化，问题解决方法的多样性、新奇性，问题解决过程的不确定性，结果呈现层次的丰富性，无疑是对参与者创造力的一种激发、挑战和有效的锻炼。教师在陌生的问题面前感到困难，失去相对于学生的优势是自然的、常常出现的。
4.评价
评价过程具体涉及以下几个方面：
①调查、求解的过程和结果要合理、清楚、简捷；
②要有自己独到的思考和发现；
③能够恰当地使用工具(如网络和计算工具)；
④采用合理、简捷的算法；
⑤提出有价值的求解设计和有见地的新问题；
⑥发挥每个组员的特长，合作学习得有效果。5.建立和扩张资源
对教育资源的认识应该走出静态的误区，要看到身边许多动态的教育教学资源。此外，通过查找相关的刊物和网站也可以发现大批的可用资源。我们还应有意识地建立自己个性化的信息资源库，它包括：前几届学生做的课题成果，如论文、研究报告、程序、制作的作品，以及活动过程的照片、研究课的录音或录像、其它学校学生的优秀成果等。生和发展而成。这种抽象可以脱离具体的实物模型，形成一种具有层次性的体系。形式化使用特定的数学符号来表示数学概念，使概念形式化。逻辑化在一个特定的数学体系中，孤立的数学概念是不存在的，它们之间往往存在着某种关系；这些关系称之为数学概念的逻辑关系。这种逻辑关系使得数学概念系统化、公理化。简明化数学概念具有高度的抽象性，借助数学符号语言，使得一定事物的本质简明的形式表现出来，这种简明化使人们在较短时间内领会。概念的外延与内涵
概念反映了事物的本质属性，也就反映了具有这种本质属性的事物。
一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延是指适合这个概念的一切对象，即符合这一概念所有对象的集合。换言之，是指这个概念的延用范围。一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵。概念的内涵是说一个概念所反映的事物培养学生的数学应用意识、数学应用能力
实际教学中要强调学生的自主探索、合作交流和操作实践等学习方式。
（1）充分发挥学生的主体性。在学习过程中，教师可以向学生推荐活动，让学生在选择中有较强的自主性；同时，让学生独立思考和合作交流，在此基础上教师进行有针对性的指导。
（2）强凋学生学习方法、思维方法、学习态度的养成，关注学生的学习过程。课题学习活动强调学生主动学习，不宜强调对知识的学习，而且更重要的是强调学生对学习方法、思维方法、学习态度的养成。
（3）创设恰当的问题情景，鼓励学生思考方法的多样化。在课题学习活动过程中，教师应当鼓励与尊重学生的独立思考，引导学生进行讨论与交流，培养学生良好的思考习惯和合作意识。鼓励算法多样化，对培养学生的创新意识与创新思维是十分必要的。
（4）对课题学习的评价应该以质的评价为主。一般说来，对学生实践与综合应用活动的评价要强调过程性评价。重点在于促进学生创新精神的培养和实践能力的提高，具备与人沟通及有良好的人际交往能力。而不是把学生贴上优秀、良好、不及格的标签。数学研究性学习的评价对建立学生发展性评价有哪些有益的启示
（1）研究性学习评价更重视过程。研究性学习评价学生研究成果的价值取向重点是学生的参与研究过程。
（2）研究性学习评价更重视理解中的应用。强调的是学生把学到的基础知识、掌握的基本技能，应用到实际问题的提出和解决中去既促进学生对知识价值的反思，又加深对知识内涵理解和掌握，形成知识的网络和结构。3）研究性学习评价强调学生在探究过程中的体验。
（4）研究性学习评价更重视全员参与。研究性学习的价值取向强调每个学生都有充分学习的潜能，为他们进行不同层次的研究性学习提供了可能性，也为个别化的评价方式创造了条件。第五章初中数学的逻辑基础
客观事物都有各自的许多性质，或者称为属性。经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，称为这种事物的本质属性。反映事物本质属性的思维形式叫做概念。数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系。反映数学对象的本质属性的思维形式叫做数学概念。数学概念具有抽象化、形式化等鲜明的特点。
抽象化数学概念反映一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性。有些可以直接从客观事物的空间形式和数量关系反映得来，而大多数概念排除对象具体的物质内容，抽象出内在的、本质的属性，甚至在已有数学概念的基础上，经过多级的抽象过程才产的本质属性。
概念的内涵和外延之间相互依存，二者是一对矛盾，共处于统一体的概念之中。它们之间有着相互依存、相互制约的关系。概念反映了事物的本质属性，也就反映了具有这种本质属性的事物。一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延。一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵。一个概念的内涵和外延分别从质和量两个方面刻划了这个概念，每个概念都是其内涵与外延的统一体．概念的内涵严格确定了概念的外延，反之，概念的外延完全确定了概念的内涵。概念的外延和内涵是主观对客观的认识，由于人们对客观事物的认识是发展变化的，概念的外延和内涵必然相应地发生变化，但是在发展变化的过程中有其相对的稳定性．在数学科学体系的确定的阶段，每一个数学概念的外延和内涵都是确定的，二者是相互确定的。初中数学概念的特点
1、初中数学概念并非都是通过定义给出的
2.初中数学概念的层次性数学概念本身具有层次性。
3.数学概念是理想概念
4.数学概念是“过程”与“对象”的统一体数学概念之间的关系
1.同一关系两个外延完全相同的概念之间的关系，叫做同一关系。同一关系，叙述上常用连接词“即”、“就是”等表示。在一个判断过程中，具有同一关系的两个概念可以互相代替。
2.交叉关系两个外延部分相同的概念之间的关系，叫做交叉关系.叙述上常用“有的”、“有些”等表示。
3.从属关系两个外延具有包含关系的概念之间的关系，叫做从属关系。其中外延范围大的概念A叫做上位概念或种概念，外延范围小的概念B叫做下位概念或类概念。4.矛盾关系两个概念的外延互相排斥，但外延之和等于它们最邻近的种概念的外延，这样两个概念之间的关系，叫做矛盾关系。
5.对立关系两个概念的外延互相排斥，但外延之和小于它们最邻近的种概念的外延，这样两个概念之间的关系，叫做对立关系。
把一个属概念分成若干个种概念，揭示概念外延的逻辑方法叫做概念的划分。在数学中常用划分把概念系统化。正确的划分应符合下列条件：
第一，所分成的种概念之间应是全异关系，即任两个种概念的外延的交集应是空集；第二，划分应是相称的，即是说所分成的全异种概念的外延的并集等于属概念的外延；第三，每次划分都应按照同一个标准进行。在一次划分中用不同的根据就造成了混乱；第四，划分不应越级。应把属概念分为最邻近的种概念
数学概念的定义与要求
定义是建立概念的逻辑方法人们在认识事物的过程中，经过抽象，形成概念，就要借助语言或符号，加以明确、固定和传递，这就要给概念下定义。定义的功能是为了明确讨论问题的对象。常常是在抽象出事物的本质属性之后，运用逻辑的方法和精练的语言或符号揭示出对象的本质属性。常用的定义方法:
1.“种+类差”定义法属概念加种差定义法就是，用被定义概念最邻近的属概念，连同被定义的概念与同一属概念下其它种概念之间的差别（即种差），来进行定义的方法。2.发生式定义法不直接揭示概念的基本内涵或外延，而是通过指出概念所反映的对象产生的过程，由此来定义概念的方法，叫做发生式定义法。
3.外延定义法这是一种给出概念外延的定义法，又叫归纳定义法。真时，P假；当P假时，P真。
2.选言判断。选言判断是由两个或两个以上判断用连接词“或者”构成的判断，一般记成AVB，读作“A或B”。
3.联言判断。联言判断是用连接词“且”构成的判断，表明几个事物情况都存在，一般记成A∧B，读作“A且B”。4假言判断。假言判断又叫蕴含判断，它是判断P为另一判断Q存在条件的判断，P、Q分别叫做该假言判断的前件和后件(或题设和题断，条件和结论)，一般用“若……，则……”，或“如果……，那么……”的形式表示，记成P→Q。解命题的涵义
关于数学对象及其属性的判断叫做数学判断。判断要借助于语句，表示判断的语句叫命题。
4.约定式定义法由于某种特殊的需要，通过约定的方法来定义的。
5．关系定义法这是以事物间的关系作为种差的定义，它指出这种关系是被定义事物所具有而任何其他事物所不具有的特有属性。
此外，中学数学中还有描述性定义法(如现行中学数学中关于等式、极限的定义)、递推式定义法(如n阶行列式、n阶导数、n重积分的定义)，借助另一对象来进行定义(如借助指数概念定义对数概念)等等。定义数学概念的基本要求
1.定义应当相称。即定义概念的外延与被定义概念的外延必须是相同的，既不能扩大也不能缩小2.定义不能循环。即在同一个科学系统中，不能以A概念来定义B概念，而同时又以B概念来定义A概念。
3.定义应清楚、简明。定义中列举的属性对于揭示概念反映的对象的本质属性来说应是必不可少的。所谓必不可少是指每一个属性都是独立的，不能由列举出的其它属性推出。
定义要揭示概念所反映对象的本质属性，而否定形式一般不能做到这一点。数学概念的形成
数学概念形成是从大量的实际例子出发，经过比较、分类，从中找出一类事物的本质属性，然后通过具体的例子对所发现的属性进行检验与修正，最后通过概括得到定义并用符号表达出来。
数学概念形成的过程有以下几个阶段：
1.观察实例。
2.分析共同属性。分析所观察实例的属性，通过比较得出各实例的共同属性。
3.抽象本质属性。从上面得出的共同属性中提出本质属性的假设。
4.确认本质属性。通过比较正例和反例检验假设。确认本质属性。
5.概括定义。在验证假设的基础上，从具体实例中抽象出本质属性推广到一切同类事物，概括出概念的定义。
6.符号表示。
7.具体运用。使新概念与已有认知结构中的相关概念建立起牢固的实质性联系。把所学的概念纳入到相应的概念体系中。
判断是人们对事物情况有所肯定或否定的比概念高一级的思维形式。判断是属于主观对客观的认识，因此，判断有真有假，其真假要由实践来检验，在数学中要进行证明。如实反映事物情况的判断，叫真判断；不符合事物情况的判断，叫假判断。在一个判断中，如果不包含其他的判断，叫做简单判断。简单判断又分为性质判断和关系判断。复合判断是由两个或两个以上的简单判断用连接词构成的判断。
1.负判断。负判断是用连接词“非”构成的判断，一般记为┑P，读作“非P”，当P如何理解命题的分类
所谓性质命题，是指断定某事物具有（或不具有）某种性质的命题。性质命题由主项、谓项、量项和联项四部分组成。关系命题关系命题是断定事物与事物之间关系的命题，关系命题由主项、谓项和量项三部分组成.复合命题命题真值的概念。
对于命题A、B，如果A是一个真命题，我们就说A的真值等于1，记成A=1；如果B是一个假命题，我们就说B的真值等于0，记成B=0。一个命题或真或假，而不能既真又假。因此，一个命题的真值只能是1或0，不能既为1，又为0，或非l又非0。
复合命题的分类
复合命题由于所采用的连接词不同，可分为下列五种形式。
否定式。给定一个命题A，用连接词“非”组成一个复合命题“非A”，
析取式。给定两个命题A与B，用连接词“或”组成一个复合命题“A或B”，合取式。给定两个命题A与B，用连接词“且”组成一个复合命题“A且B”蕴含式。给定两个命题A与B，用连接词“若……，则……”组成一个复合命题“若A则B”，记作AB
等值式。给定两个命题A与B，用连接词“等值”组成一个复合命题“A等值B”，记作“AB”公理与定理
不加证明而被承认其真实性的命题叫做“公理”。原始概念和公理是组成数学理论的主要基础。公理虽然不能加以证明，但有其合理性，它是从大量客观事物与现象中抽象出来的，符合客观规律。
任何公理体系都必须满足相容性、完备性和独立性。相容性是指该体系的各公理之间没有矛盾。完备性是指该分支的形成除了相应的公理体系外，不依赖于任何别的东西。独立性是指该体系中各公理是相互独立的，没有一个可以由其他公理推出。独立性对整个公理体系而言，具有锦上添花的作用。
经过证明为真实的命题叫做定理，可由定理直接得出的真命题叫做推论。推论和定理的含义没有什么本质的区别。一个定理的逆命题、偏逆命题都未必为真，如果证明了是真实的，则分别称为原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。形式逻辑的基本规律
1.同一律：在同一时间、同一地点、同一思维的过程中，所使用的概念和判断必须确
定，且前后保持一致。公式是：A→A，即A是A。它有两点具体要求：一是思维的对象应保持同一。二是表示同一事物的概念应保持同一。
2.矛盾律：在同一时间，同一地点，同一思维的过程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思维过程中的两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假。公式是：A∧A，即A不是A。
3.排中律：在同一时间、同一地点、同一思维的过程中，对同一对象，必须作出明确的肯定或否定的判断。即在同一思维过程中，两个互相矛盾的概念或判断不能同假，必有一真，而排除第三种可能。公式是：A∨，即A或。
排中律和矛盾律既有联系，又有区别。其联系在于：它们都是关于两个互相矛盾的判断，都指出两个矛盾判断不能同时并存，其中必有一个是假。但如何进一步确定谁真谁假，它们本身都无能为力，只有借助其他知识，进行具体分析，才能正确地予以回答。3．演绎推理是一种由
初中数学培训总结7
校本研修是提高效果，实施轻负高效，培养学生能力，体现课改精神的有效途径。为此，为此我们确立了“几何画板在数学教学中的有效应用”这一校本研修主题，经过理论学习，课堂模式教学，教学效果分析等系列研修，使教师的教学水平有了较好的改观，学生的学习能力有了相应的提高。主要工作如下：
一、集体备课是校本研修的主阵地。
自己作为数学组的教研组长，职务不高，但责任重大，自己对待工作的态度直接影响到我校的数学成绩和学生的命运，对于自己组的备课研修活动，自己从不请假、旷会，坚持以身作则，潜移默化去影响本组的成员，自己的态度总是积极向上的，成员的心态才可能是阳光的，每一次校本研修活动，我都会提前安排一位教师作中心发言人，谈谈自己对一些重点章节的整体安排设计，然后再给大家留一点思考时间，让每位教师都来谈在教授这节课时是如何处理的，根据自己的课堂情况学生反馈情况，说说自己成功的地方和不足之处，有待改进的地方，老师们都很坦诚，开诚布公，仁者见仁，智者见智，各抒己见，阐述着以往自己做的好的和不足的地方，在叙述和聆听的过程中，每个人都对本部分的知识有了进一步的认识，再引领大家去研读课程标准，认真领会课程标准的内涵，在新课程标准的引领下，自己再思考本节课的导入、重难点的突破，理论与实际如何巧妙的结合，如何在课堂中用更好的方法去调动学生的主观能动性，让学生由被迫的学习变为主动的参与课堂活动，积极的获取知识，提高能力。短暂的思考后，每位教师就可以自由的发言，自由的争论，和中心发言人探讨某个环节如何设计可能会收到什么样的效果，怎样设计效果可能会更好，我们往往会为一个问题争得面红耳赤，但表面上的争吵却让我们的内心走的更近了，每个人都是心里坦荡荡，毫无保留的奉献着自己的智慧，收获着高尚的品德，我们的工作也得到了领导和同志们的高度评价。
二、尝试和落实
1、提高学习兴趣。兴趣是学生喜欢学习的一个支柱。使用情景引入法，唤醒学生对认知的欲望。充分调动一切手段，既使学生对数学产生兴趣，又在兴趣中学到知识。
2、加强双基落实。数学学习的目标之一就是落实双基，也是新教材中要体现的目标之一，我们采用了小组竞赛的方法，比正确、比速度，也采用个人抢答，同学判断正误，也有个人的书面速度比赛，也有传统的练习方式。使双基落实到每一位同学身上，大面积提高教学质量，而计算器的使用使同学有更多的时间、精力去落实双基，改变学习方法，启迪思维，开阔视野。
3、拓展、研讨的深入。大量的新名词、新概念、新形式的出现。如图表、形数结合、信息技术等等。使同学造成一定困惑，因此，我们采用发动学生上网查询，动手收集材料，向家长询问。同学间相互讨论交流、老师介绍等方法。分小组在课外研究、在课内交流结论。并在老师指导下得出一定的规律，使学生对这些知识能更深一步掌握。
4、课后反思。备课是上好课的前提，课后反思则能使今后的课上得更好更完美。我们要求每一节课的教案都必须写上反思。包括得、失改进。以期在实践中不断改进，提高效率，为新教材的铺开作一些准备。
三、开展磨课
我们教研组在校磨课比赛中认真对待，磨课手、上课手、观课手、评课手都积极工作，认真研讨，
1、学生主动性得到发挥
老师在试教的过程中，常常发现相同的提问，不同的班级学生给出的回答会有不一样的'深度和广度，由此意识到：能力通常不是单一靠教师讲出来的，而是学生练出来的。
新课标十分注重关注学生的学习方式、学习愿望和学习能力的培养。因此在磨课中，我们能够从试教者提供的多种教法中认真思考并选择适合学生的有效学习方式。在有了可比性、选择性的情况下，更能充分尊重学生学习的自主性，最大限度地把课堂还给学生，营造出民主、平等、和谐的学习氛围，让学生在自主、合作、探究中学会学习。
2、教师积极性得到提高
磨课的过程是一位教师围绕一篇课文进行试教、反思，再试教、再反思、再上课的过程。它的优点在于教师经过反复的实践、思考、改进，可以在最大限度上让教学过程贴近学生的实际，帮助学生找到最佳的学习方法，可以深入地思考教学中出现的某个问题，找到相应的最佳解决办法，也就是我们常说的“精品课”。这种磨课，对一篇教材的钻研和驾驭应该是最深入、最通透的。它在很大程度上提高了教师的自信心，培养了教师的成熟度，进而焕发了积极性。
3、教材得到合理性的使用
磨课能指导教师深刻理解教材。磨课的过程首先就是对教材理解的辩论，教师在与同组老师讨论教材时，大家就有不同的理解，由此可能产生不同的教学效果，通过相互研讨，最终就能作出合理判断。
4、团队整体性得到提高
每次研讨，老师们都高度集中注意力，仔细倾听其他老师的每一条意见，深怕漏掉一条对自己有用的，非常谦虚的接受大家的不同见解，然后加以分析、修改、提高。而每个参与的老师也都抱着高度的责任感和难能可贵的参与意识，大家从不同角度、不同内容、不同层面，谈自己的个人意见，并提出了很独到的见解，抛弃了以前评课过程中只讲好话，少讲坏话的不良习惯，大家讲出自己的真心话，目的只有一个：为了共同提高。教学还能相长，更何况我们老师之间的真诚互助？
在这一学期中，备课组所有成员付出很多心血，但也收获很多。以上是我们教研组作的一些工作和一些肤浅的体会，相信其他学校会有更多、更好的经验值得我们学习。在资源共享的旗帜下，希望有更多这样大家交流的机会，让我们的工作更上一个台阶。
初中数学培训总结8
参加初中数学远程培训二个多月时间了，通过这段培训，我受益匪浅，感受很多。下面就是我的点滴体会：
一．对新教材有了初步了解
学习了义务教育新课标的理念和课例解读后，我对于未曾变动的旧的知识点，考纲上有所变化的做到了心中有数。对于新增内容，哪些是中考必考内容，哪些是选讲内容，对于不同的内容应该分别讲解到什么程度，也更明确了。这样才能做到面对新教材中的新内容不急不躁、从容不迫，不至于面对新问题产生陌生感和紧张感。通过学习，使我清楚地认识到初中数学新课程的内容是由哪些模块组成的，各模块又是由哪些知识点组成的，以及各知识点之间又有怎样的联系与区别。专家们所提供的专业分析对我们理解教材，把握教材有着非常重要而又深远的意义。对于必修课程必须讲深讲透，对于部分选学内容，应视学校和学生的'具体情况而定。
二．对课堂教学设计、教学案例的编写方面的内容有了提高。
培训活动中，自己通过视频观看学习了“案例导入”、“专家讲座”、“互动讨论”、“课例作业”等内容，使自己在教学设计、教学案例以及课堂教学等方面有了进一步的提升和加强，特别是在课堂教学设计，令人豁然开朗。通过视频观看学习了《有序数对》和《图形的旋转》，感觉很有收获。如以往听课从未记录过讲课者教学过程各个环节的时间分配，听课时只注意了讲课者的知识传授情况，而没注意欣赏、品析讲课者的教学追求、洞察其教学的理论依据等。特别是听了
专家讲座后，自己才知道还有很多不足。自己今后将认真按专家的指点开展教学活动。
三．对初中阶段“数与代数”、“ 空间与几何”、“统计与概率”以及“应用性问题教学”的教学方式有了进一步的认识。
本次培训活动中，培训的内容极具代表性，涵盖了初中阶段的“数与代数”、“ 空间与几何”、“统计与概率”以及“应用性问题教学”等内容，因为自己在以往的教学中对初学几何的学生开展教学时十分头疼，特别是在几何推理的教学中，学生往往不入门，通过专家的培训讲解，使自己在这一方面的教学中有了一定的方法。还有，对于自己在教学中遇到的一些困惑，自己将按专家的要求认真严格要求自己，提高自己。
四.教学实战能力得到加强
本次培训充分关注培训教师的实际需要，不仅传授了现代教学技术和手段，在大的纬度上帮助教师构建理论体系，同时更关注新课程背景下课堂教学深层问题。专家向我们讲授了“计算机教学手段应用”“中学教师标准解读”“教学技术及应用”“新课标解读”等，先进的教学理念及其别具一格的教学风格使本人在观摩、思考、碰撞中得到提高。整个培训活动从实际到理论，再由理论到实际，循序渐进，降低了学习的难度，提高了学习的实效。
五．通过培训学习，使我清楚地认识到整体把握初中数学新课程的重要性及其常用方法。
整体把握初中数学新课程不仅可以使我们清楚地认识到初中数
学的主要脉络，而且可以使我们站在更高层次上面对初中数学新课程。整体把握初中数学新课程不仅可以提高教师自身的素质，也有助于培养学生的数学素养。只有让学生具备良好的数学素养才能使他们更好地适应社会的发展与进步。与学生的总结、交流能促进我们产生更多更好的授课方式、方法，产生更多更新的科学思维模式。这对于我们提高课堂教学质量具有非常现实而深远的意义。
总之，此次培训活动，使自己的教育教学观念、教学行为方法、专业化水平，教育教学理论均有了很大的提升。今后，自己充分将所学、所悟、所感的内容应用到教学实践中去，做新时期的合格的初中数学教师。
初中数学培训总结9
20xx年9月20日的此时，我们齐聚一堂，“国培计划初中数学学科带头人”班正式启动，而如今，同样的场景，历时三个月的培训学习，至此已圆满结束了。在此感谢学院领导三个月来的悉心关怀，感谢班主任张道祥教授的贴心照顾，感谢所有教授、专家的倾心传授！
“玉不琢，不成器；人不学，不知意。”本次培训收获最大的是前辈们对我教学思想上的强烈冲击。每一天都要面对风格迥异的名师，每一天都能聆听不同类型的讲座，每一天都能感受到思想火花的碰撞，感觉幸福而又充实！
随着新课程改革的发展，很多时候的我们是无所适从的，甚至茫然过，束手无策过。而此次短暂的培训学习犹如为我奋斗了16年的教学事业推开了另一扇窗，拨云见日，使我在一次次的感悟中豁然开朗。虽然只有寥寥三个月，却让我享受到了一个全新的教学舞台风采。
第一阶段理论研修，由安师大郭要红等10多位教授、专家从不同的角度，给大家展示了涉及教学领域的精湛讲座，让我们从一个全新的视角，了解了当今数学教学最前沿的理论知识和研究成果，也为我今后的教学和研究，提供了方法上的指导以及方向上的指引。特别是听讲了孙国正教授的《初中数学思想方法》系列讲座和郭要红教授的《数学教师自我诊断与专业发展规划》后感触颇深，联系基层教学的实际状况，对自己以前教学中所存在的一些困惑，有了一些明析的认识，同时也为以前在教学中遇到的一些困难，找到了合适的解决方法，并提供了一定的理论指导和帮助。教授专家们独到的视角、深邃的思考、扎实的工作作风和积极乐观的心态，使我深切领悟到“学高为师，身正为范，学无止境”的真谛，给我这个一线的教师留下了终生挥之不去的印象。它必将深深地影响着我、激励着我，成为我今后人生的指南，事业的航标。
第二阶段是实践研修阶段，旨在把第一阶段所学到的有关理论应用于实践。我们班学员分别深入到芜湖市三中，十一中以及南瑞实验中学进行“影子教学”实践研修。众所周知，这三所学校都有着自己的办学特色，学生的综合素质和学校的硬件设施都比基层学校高出很多，师资水平也不例外。在与带教老师及影子学校的领导进行相关交流互动后，我们学员的整体教学教研水平都得到了很大程度的提高。
第三阶段是再反馈和再提高阶段。实习研修结束后，我们重新回到了师大的理论课堂，对前阶段所学理论知识及在实习研修中暴露的问题进行整理分析，以及再次的`学习、总结和提高，谈体会、找缺点、寻理论，收获颇丰。同时，学院领导还给我们安排了六节外省专家的讲座。南京师范大学教授喻平教授所教授的《数学教学的三种水平心理学依据与案例分析》，指引我们该怎样由基本型教师向智慧型、创新型教师转变；合肥市教学研究室的专家王道宇老师的《一节好课的案例分析》让大家明白真正的好课该如何去上，如何使同学们进行有效吸收；特级教师胡赵云老师的讲座，更是引起我内心的震撼和共鸣，幽默风趣的语言，平易近人的教学风范，简直令人高山仰止。他所提倡的“学会倾听学生的声音”思想，给我指明了今后的教学方向和教育思想。其实，培训是一个反思进步的过程。三个月的培训学习是短暂的，但是给我的记忆和思考却是永恒的。通过这次培训，使我提高了认识，理清了思路，学到了新的教学理念，找到了自身的差距和不足。
综观以前我的教学，最注重的似乎就是学生的学习成绩，简单来说就是升学率，它仿佛就是教师的一种任务，带着这种心理，于是便造成了教师整天围着学生转的状况，课内效益低，同时又花费大量的课外时间去弥补，出现了学生累教师更累的局面。反思我的课堂，忽视不仅仅是学生的心理特点，还顺带遗忘了身为人师的数学理念。过去，我常常以固有不变的眼光来审视整个数学系统，并以多年习惯了的教学方式，将数学“成人化”地呈现在孩子们面前。如何使我们的数学课堂愈发显得真实、自然、厚重而又充满着人情味成为教育最大的绊脚石。因此，作为数学老师的我们更要关注的是，如何以自身的智慧，不断的唤醒孩子们学习热情，点化孩子们的学习方法，从而丰富他们的学习经验，开启属于自己的学习智慧。
“我思，故我在”！在以后的教学中，我需要做的或者说需要改善的是：
第一，自我反思。从以往的实践中总结经验得失。
第二，不断学习。读万卷书，行万里路，读书是提高自我素养的良好基奠。一桶水早已不能满足学生的需求了，我要不断学习，积极争取向探究型、专家型教师靠拢。
第三，注重交流。与同行的交流，与专家的交流、争取走“学习反思研究实践”相结合的专业发展之路。
总而言之,在课改不断深入的今天，我们要深刻理解并落实新观念、新思想、新方法，在学科教学过程中，我们一定要突出学生是主体的概念，用不同的教学方法和手段来激发和培养学生的学习兴趣，“面向全体学生,提高数学素养,倡导探究性学习”,圆满完成新一轮的课改任务。
培训只是一个手段，一个开端。对于培训给我的清泉，我定要让它细水长流。“国培”给我补了元气、赭山替我添了秀气、镜湖注我以灵气，使我对教学事业重新勃发出无限的奋斗力。坚持了三个月的研修学习，思考背后，相信大家都和我一样，作为资深教师，感到更多的是责任，是压力，真正体悟到教育是一个充满智慧的事业，深刻意识到作为一名基层的人民教师所肩负的重任。今后我定会学以致用，结合我校的实际情况，及时为学校的建设和发展出谋划策，让培训的硕果在教育事业发展中大放光彩！
同学们，让我们一起努力吧！
初中数学培训总结10
为期一周的的暑期初中数学骨干教师的培训已结束，回顾几天的培训，时间虽不长，但内容丰富，每天六个小时的讲座（中间穿插交流互动环节），我都边听边记，积极思考。在这次的学习中，专家、教授们为我们带来了全新的数学思想，崭新的教学理念，新的教学方法，论文的撰写技巧，案例的教学与研究等等，这让我在数学教学理念上有了更深刻的认识。数学文化，数学观，数学哲学，课堂教学模式的多样性等等正是我日常教学缺少的理论基础。特别是老师关于教学模式的多样性非常贴近我们的实际教学。我认为，教师只有汲取丰富的教学理念，才能真正驾驭课堂。
开班第一天是江苏省教科院研究员、硕导李善良的《与数学教师谈专业发展》，李教授从高、微、雅、逸四个方面来阐述教师的专业发展：对于每一位教师，
首先要有远大的理想，要有较高的目标，从教书匠——教师——教育家，要有自己的风格，有自己的特色，有自己的灵魂；
其次要不断挑战自我，不断学习，探索教学规律，形成教学风格，进而形成教学思想；
第三，要起点高，要探索，创新，有批判性思维，善于独立思考；
第四，学习时接触的朋友、书籍、文章水平要高，要读大师原著；
第五，要善于挑战，只有为自己树立强大的对手，才能不断地激励自己。我想：我们若能做到李教授提出的几点，那么将会大大促进我们的专业成长。
南京师范大学教授喻平的《中学数学课堂教学评价理论与案例分析》告诉我们：课堂教学评价是一种价值判断，即教师的`教、学生的学和最终的课堂教学质量及效果，是对实然的教学效果和应然的目标的评价；让我们知道数学教学观是数学观和教育观的整合，强调教学过程层面的评价，即教学方法的选择与实施的效果，教学效果是评价的前提，也是评价的归宿。给我们一线教师的教学指明了方向。
华东师范大学教授李士錡的讲座十分精彩，让我知道教学不仅仅是向学生传授知识，数学是思考和解决问题的方法和过程，有什么样的数学观，就有什么样的教育观。数学学习、数学思维就是一个反复尝试、探究，不断修正、改进、完善的过程。
郑毓信教授在《数学教育哲学》中指出：教师应当提倡“反思性实践者”这样一个关于实践工作的新定位，应当努力做好“理论的实践性解读”与“教学实践的理论性反思”，它是教师专业成长的基本途径；教师不应热衷于追求某种标准答案，而应明确承认这方面观念的多样性，并应更加重视如何能从中吸取有益的思想和启示，特别是，这些观念对于我们改进教学究竟有哪些思想和启示。从动态数学观来看，数学并非事实性结论的简单积累，而主要应被看成是人类的一种创造性活动，教学中应当突出主要问题，努力培养学生提出问题的能力（问题意识），应重视思维方法的教学，做到基本知识不要求全，而应求连；基本技巧不要求全，而要求变；基本思维不要求全，而应求用。做一个具有哲学思维的教学工作者，要坚持独立思考，包括一定的批判精神；要坚持辩证思维；要有问题意识与变革精神。教师在教学中要善于提问，善于举例，善于比较与优化，才能真正发挥教师应有的指导作用。
通过这次培训，我开拓了专业视野，领悟了新课程理念，更新了教育教学观念，升华了专业理论水平。在今后的教育教学中，我将运用这些理论指导自己的教学实践，不断提高自己的教学能力和专业素养，促进自己的专业发展。
初中数学培训总结11
通过10天的培训学习，使我接触到了专家学者们的教育新理念，学习了不少优秀教师的课堂教学设计，同时还与市内的一线教师们进行了充分的交流。收获颇多，感触较深的同时，也认识到了自己教学中的不足，因此，可以说这次培训来的很及时，培训内容很深刻，培训的效果将影响深远。崭新的教育理念和先进的教学模式触动着每位教师的心灵，作为一线教师的我深深感到学习的重要性，在今后的教学中，我将立足于自己的本职工作，加强理论学习，转变教育教学观念，积极实践新课改，铺设好自己的专业化发展之路。
一、积极转变教育教学观念
观念是行动的先导。教师的教育教学观念直接影响着教师的教育教学行为，直接影响着教育教学的效果。要转变只对少数学生负责，只对学生升学负责的施教观，确立对每个学生负责，对学生的长远发展负责的施教观。
二、改变传统的课堂教学模式，注重教学方式的选择
课堂教学是实施素质教育的主渠道，只有通过课堂教学，才能把教育真正落实到实处。新课程的基本理念指出，以学生发展为本，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，改变了传统教育中过于强调接受学习，死记硬背、机械训练的现状。从中可以看出，教育改革的落实既要有教师教学方式的改革，还要有学生学习方式的变革。
在课堂教学方式方面，常见的教学模式主要有以下几种：启发讲授模式；自学讨论模式；目标定向模式；发现式教学模式；开放研究性教学模式；多媒体教学模式等，不论哪一种教学模式的建构和选取，都要体现学生的主体地位，由教学过程中教师到学生的单向交流变成师生之间、学生之间的多向交流，使教学成为一个开放的系统。各种教学模式都有一定的局限性，而教学内容的不断变化决定了不能把某一种教学模式作为万能的模式去传授所有知识。灵活地运用教学模式，是指在对比各种教学模式的理论，优点和局限性的情况下，针对教学实际，汲取几种教学模式的特点、重点进行组合，使教学过程得到优化.教学模式的多样性，有利于激发学生的认知活动，为能力的全面培养创造条件。
在学生的学习方式方面，目前，出现了许多新的学习方式，归纳起来，主要包括自主学习、合作学习、探究学习，均强调学生是学习的主体，提倡学生参与学习目标、学习进度和评价目标，倡导学生在学习中积极思考，在解决问题的过程中学习。在具体的学习过程中，自主学习、合作学习、探究学习并不是三种独立的学习方式，三者之间是不能截然分开的，只有通过三者的优化组合，才能实现由传统的学习方式向新的学习方式的转变。
三、注重自身的素质发展，努力提高教育教学水平
新的`教育改革对教师的专业素质提出了更高的要求，作为一名一线教师，应该不断地加强学习，提升自己的专业素质。我将努力从以下几方面入手：
1、要关注专业化理论发展，了解学科课程要求
作为一线教师，首先要熟悉所教学科的主要内容，对学科内容知识的产生、发展、功能等有系统的认识，能从总体上把握教材，驾驭教材，要认真研究《新课程标准》的要求等，因此在以后的教学中我要着重加强了教材的分析，利用所学理论去备课、备学生，去认真讲课，去研究习题，增强了教学的针对性和时效性。
2、要努力提高自身教学能力和科研能力
3、要终身学习与发展
要向课本学习，向专家学习，多读教育教学方面的书籍，养成好读书，读好书的习惯。
要向有经验的教师学习，多参加听课、评课活动，多与同事进行交流，加强教师间的合作，或者利用网络与更多的同行进行交流与学习。要向自己学习，从自己的教学中学习，即自我反思。使教学设计更加合理化。在今后教学中，要坚持写教后记，每节课后在自己的教案本上及时记下课堂中成功之举或不足之处，或者提出改进性的意见，一段时间后，再把这些内容加以整理和总结，从而为以后的教学积累经验。要向学生学习，在与学生的互动中“教学相长”。
歌德有句名言说：“人生至关重要的事是有远大的目标和达到这个目标的雄心壮志”。暑期培训的结束，只是一个新的起点。在新的起跑线上，我将继续坚持“以学生为主体”、“以学生的终身发展为目标”的教学理念，“立足过程，促进发展”的评价准则，认真贯彻落实新课程精神，用智慧和激情打造精品教育，用灵感和创新塑造数学人生。从数学学科的角度，为学生严谨性、规范性、自主性、灵活性思维品质的培养，为学生学习能力、学习习惯以及数学素养的养成，为学生的后续学习等各方面打下坚实的基础。
一、提高我的思想认识：
二、更新和转变了我的观念：
三、提高了我的现代教育教学技能：
四、增长了我的知识：
五、改变了我的教学方式：
总之，通过这次远程培训，我的理论和专业教学水平同时得到了很大的提升，让感受到远程培训给我带来阳光、空气、雨露，拓展了我的教育视野，提升了我的教研能力，让我的教育思想和教育行为有了真真切切的转变。这次培训活动，我认真结合自身的教学实际进行反思，找到了自身的不足之处，对于今后如何更好的提高自己的教育教学质量必将起到巨大的推动作用，我将以此为起点，不断梳理与反思自我，促使自己不断成长。
初中数学培训总结12
尊敬的各位领导、同仁：
大家好！
根据学校安排，上学期末，我在陕西师大参加了为期20天的“美丽园丁”教师业务培训学习，下面结合我的教学及专家们的教导向各位领导和老师做一汇报：
1、备课。教师要上好一节课，必须要备好课。备课过程中要考虑“教什么？怎么教？学生学什么？怎么学？”这是上好一节课的关键。下面结合专家的报告和自己的教学谈谈如何备课？
首先要进行教材分析。分析本节课知识与本章知识的联系，与学过知识的联系，与将要学习知识的联系，明确本节课的重要性，也就是要揣摩编者的编写意图，其次就是目标的确定。确定了学生“教师教什么？学生么？”这一定要慎重确定，若教师把握不准，一定要结合参考书或教学大纲，因为它关系到本节课的成败。到底怎样确定目标呢？我们知道，新课标要求“三维目标”即：知识与技能、过程与方法、情感态度价值观。我们在平时备课时只注重知识与技能目标，却忽视了过程与方法、情感态度价值观这两个目标，这样会导致以下问题：平时会做测试却不会，学生看起来好想会了，但做题过程却含糊不清，过程推理逻辑性很差等诸多问题。这其实并不是学生的问题，而是教师在教学中没有很好的落实三维目标所致。再次确定重难点。重难点的确定要根据学生实际出发，不能在教学参考书上抄，要结合我们的学生确定重难点。最后明确教法学法。其实这也是明确“教师怎样教？学生怎样学？的问题”，利用那些教具，采用什么样的方法，采用什么样的措施，才能使学生学得轻松，学得愉快，这才是非常重要的。要落实好这个环节，了解学生学习生活经验是非常重要的，了解学生是否有此累知识的经验,在已有经验的基础上学习新知肯定会容易一些这就要我们教师分析本节课知识与前面学过的那些知识有联系，或学习方法相同，或学生生活中已经接触到相关知识，这时，我们就可以通过温故知新，或方法类比，或情景创设。让学生通过自学、或结合已有经验得出结论。这就要求我们教师在备课过程中设计好每个环节，怎样提出问题，通过什么方式方法解决问题。同时还要考虑设计哪些环节，准备那些教具来实现教学目标，突破重难点，来对知识巩固拓展检测。
2、课前互动。课备好了，课前互动也是同样重要。在和学生的活动交流过程中，可以了解学生对某些知识的理解程度，对前面学习过知识的遗忘程度，进而调整自己的教学，也可以通过互动交流拉近师生距离。人常说：“亲其师，信其道”这样有助于课堂教学，也可以通过课前互动让学生放松。由于学生学习压力大，部分学生下一节课都快上了，他却仍然沉静在上一节课的某些情境中。“我明明没睡觉，老师就是冤枉我，这老师就是看不起我给我找茬”、“这个单词我真的记不下，烦死了”、“这个老师真讨厌，今天又骂我了”等等，这样的状态对本节课学习肯定有影响。这就要我们教师组织学生进行课前活动：如让教室里的学生走出教室看看远处，做一些小游戏，或者和学生交流交流，也可以在教室讲讲笑话，让学生笑一笑、放松放松，尽可能让学生以最佳的状态走进自己的课。
3、课堂教学的导入。合理的导入，可以启发学生的思维，激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，集中学生的注意力。从而引导学生乐于思考，积极主动的参与讨论，始终参与到教学活动中，进而提高课堂教学效益，取得较好的教学效果。下面就谈谈数学教学中的几种导入方法：
（1）温故知新复习导入。通过对旧知识的复习，引入对新课的学习，使学生会感觉到今天学习的知识并不陌生，有利于对新知识的掌握，这种方法注重只是衔接，一举多得，不仅有利于対旧知识的巩固，而且能为新知识的学习做好铺垫。
（2）激发兴趣故事导入。针对学生爱听有趣故事的特点，根据学生年龄特征编制故事，营造情景导入新课。这样既能提高学生的学习兴趣，又能丰富学生的数学知识。
（3）.联系生活情景导入。数学源于生活用于生活，用贴近生活实际的学习素材，导入课题，不仅使学生感到亲切、自然，激发学生的兴趣而且能唤起学生的认知行为，促使学生主动思考，为探究新知打下基础。
（4）.问题前置质疑导入。利用本节课需要解决的问题来导入新课，调动学生探求知识的心理，激发学生的求知欲，从而形成学习动力，这种导入方式使学生有“要我学”为“我要学”，变被动为主动，会取得很好的效果。
导入的方法很多，如还有类比导入法、演示导入法、讨论导入法等等。导入法的目的是通过激发学生兴趣、学习动力解决问题，在选取导入方法是一定要结合教材知识和学生实际，力求效果最大化。
4、小组合作。关于小组合作，在我的教学中迷茫了好几年，怎样的合作最有效？什么时候组织小组合作？等问题一直困扰着我的课堂教学。这次培训听了刘旭亮老师的讲座，使我感受很深。首先我先说说如何分组。小组合作可分为“同质合作”和“异质合作”。学生的作为可以不固定，在合作教学中，他们可以找志同道合的同学进行讨论，也可以找成绩接近的同学进行讨论，这样同质合作便于教师分层教学，但课堂教学很难调控，这就要求教师在布置问题是尽可能分层布置，既能使学困生“吃得消”，又能使优等生“吃得饱”。“异质合作”便于教学同步进行，教师如果分工、管理不当就会出现：优等生唱独角戏等现象，不利于学困生发展，他们只是知识的被动接受者，长期下去会加剧两极分化。用“同质合作”还是“异质合作”要靠教师有效、合理的调控。小组合作要做到“五有”即：有问题、有时间、有过程、有展示、有评价。有问题就是要让学生知道我们要在合作中解决什么问题，带着问题去合作；有时间就是当问题出示后要给学生留有思考的时间，让他们找到讨论点。有过程就是要求每一位学生都要参与讨论，积极发表自己的观点，亲身体验知识的生成过程；有展示就是要求学生通小组合作，将自己小组的`讨论结果向大家展示，这样达到检测督促作用，同时也给学生展示自己的机会；有评价就是要对学生的活动参与率、汇报结论的正确率进行评价，对知识点进行强调，对表现突出的学生进行表扬。
5、做个“懒”教师。课堂上尽可能把时间还给学生，在学生明确目标的基础上，让学生通过动手、动脑自己得出结论，让学生通过亲自参与将知识内化。我们平时经常会说，这道题或这个知识点我讲了好多遍学生还是做错了，这是为什么呢？也许我们将解释学生根本没有听或者是听了，由于无法理解没过多久就忘了，这样我们教师可以说是出力不讨好，何苦呢？在课堂教学中，尽可能做一名“懒”教师学生自己能解决的或讲了也无法接受的坚决不讲，讲了也只有少数学生能听懂，尽可能让部分学生通过讨论自己解决，或者进行个别辅导，知识点、易错点教师要通过典型题精讲。
6、课堂上允许学生犯错误。这里的犯错误并不是上课允许学生睡觉、玩手机等，而是知识方面可以犯错误。把这作为教学案例，让学生参与纠错活动，让学生发现问题，改正问题，达到知识的强化。其实这个过程可以培养学生发现问题的能力，改正问题的能力，其实也培养了学生应试能力。通过这个纠错活动，让学生在关键时刻（测试）不出错。
学困生板演→中等生纠错→优等生讲解
↓↓↓
允许出错→发现问题→解决问题
7、数形结合教几何。很多学生讨厌几何学习，有很多性质、定理、判定记不下，遇到证明题就头痛。其实，这也是个事实问题，学生每天需要记忆的知识太多了：语文老师要求背诵文言文，英语老师要求记单词、短语等等，数学性质、定理、判定又很难记忆，有时候记下也用不上或不会用。如果我们数学老师再让背诵性质、定理、判定的话，学生能喜欢我们的数学吗？说句实话，我在教学中，几乎不背这些，通过图形来回顾性质、定理、判定。如学习垂径定理时，我画了一个圆画了一条直径和一条与直径垂直的弦（不是直径）。我把其中的五个条件成为五要素，这五要素中存在“知其二得其三”。这样数型结合让学生理解记忆。那特殊锐角三角函数值怎样办呢？可以画图证明。
总之，通过本次教师的培训，自己收获颇多，感受颇深，是我对初中数学教学有了更深层次的认识，我会在今后教学中坚持学习，力求是自己的课堂教学效率更上一层楼。
初中数学培训总结13
一、运用远程教育资源提高学生的学习兴趣。
1、运用现代远程教育资源吸引学生，导入课题。进行新课的教学时，在导入中，枯燥的讲解无法激起学生的兴趣，也不能充分发挥学生学习的主动性。那么，运用现代教育技术，则能像磁古石一样吸引学生，并使其受到感染和教育。如在教学《角平分线》一课时，可运用多媒体课件，在轻柔的音乐声、动态的教学过程中，让学生清楚地感受到角平分线的画法和性质。使学生在充满好奇的心态下，开始新课的学习。这样生动巧妙的导入课文，能收到意想不到的效果。
2、运用现代远程教育资源，介绍背景。学习某些知识，需要学生了解时代背景，而这些知识大多数离学生的生活比较远。而远程教育资源就可以解决这个问题。如学习《神奇的计算工具》这一课时，在课堂教学中，老师向学生介绍计算工具的发展演变，学生在没有具体看到的情况下会感觉比较乏味，不如用多媒体课件展示从古自今的计算工具，使学生感受到科学技术的发展给我们的生活带来的翻天覆地的变化，从而激发学生的学习积极性。
3、运用远程教育资源创设课堂情景。在课堂教学中，运用现代远程教育资源创造与渲染气氛，调动学生的感觉器官和思维器官，使他们尽快的进入情境，启发学生展开想象和联想，这时教师就可以设置悬念，让学生带着疑问开始新课的学习，提高了课堂教学的效果。
二、远程教育资源在活动课中的运用
活动课是指在教师的指导下，学生自主活动，从学生的已有经验出发，突破传统课堂教学的一种教育形式。让学生在“乐”中“学”，在“学”中“乐”，以获得直接经验，提高实践能力。教育活动课，能让每个学生都参与，都能最大限度的开发智力。多媒体技术及设备能再现声形，图文并茂，我们在课外教育活动课中使用这一手段。
通过远程教育资源的运用，能大大激发学生的学习兴趣，它能使学生及时了解自己的学习情况，不断受到教学成果的激励，从而以更大的热情投入到教学活动中。它能使教师提高自己的`能力，迅速、准确地获得学生的反馈信息，从而调整教学内容和教学节奏。只要运用得当，远程教育资源在学校教育教学中的重要作用是举足轻重的。我们应该站在历史的高度，站在为国家培养新世纪人才的高度，运用好远程教育资源。
上网培训学习宣布告一段落。辛劳伴着收获，感想颇多。通过学习加强了对新课程的认识，益处多多，势在必行。学到了知识，但还有些笼统，仍需继续学习、理解、消化并用于实践。而最主要的收获是对学校数学和数学教师的形象和角色产生前所未有的认识。
一、实践必须与理论相结合。采用自主、合作、探究方式，致力于学生素养的形成与发展，把课堂真正还给学生，创建真正育人乐园。
二、注重方法非常必要。教师在实际教学中，只有多联系生活，多创设情境，多动手操作，注重教学方法和学习方法，课堂才有实效。
教师要重视创设贴近学生生活实际的教学情境，从情境中引入要学习的内容，激发学生探究的兴趣和欲望，使学生体会到数学知识就在我们身边，理解数学与生活的联系，有利于学生主动地进行观察，实践，猜测，验证，推理与交流等数学活动。
三、思想认识得到了提高。这十几年的教学生涯，让我已经慢慢倦怠、沉重，沉重的令人窒息。我早已像一台机器，不再有灵感。把教师当成了一种职业，一种谋生的职业。可通过这几天的培训，让我能以更宽阔的视野去看待我们的教育工作，让我学到了更多提高自身素质和教育教学水平的方法和捷径。
四、重视实践，审视自我。“省培”让我认识到：一节好的数学课，新在理念、巧在设计、赢在实践、成在后续。一节好的数学课，要做到三个关注：一是：关注学生，从学生的实际出发，关注学生的情感需求和认知需求，关注学生的已有的知识基础和生活经验……是一节成功课堂的必要基础。二是：关注数学：抓住生活的本质进行教学，注重数学思维方法的渗透，让学生在观察、操作、实验、讨论、交流的过程中有机会经历数学的学习过程，使学生真正体验生活中到数学，乐学、爱学数学；三是关注课堂，不要有“做秀”情结，倡导“简洁而深刻、清新而厚重、灵活而实际”的教学风格，展现思维力度，关注数学教法、学法，体现数学课的灵魂。
通过“省培”，使我懂得在教育教学实践中，需要静下心来采他山之玉，纳百家之长，慢慢地走，慢慢地教，在教中学，在教中研，在教和研中寻求符合实际的教学风格，求得师生的共同发展，求得教学质量的稳步提高。通过“省培”，我突然感到自己身上的压力变大了。要想不被淘汰出局，要想最终成为一名学生喜欢、家长信赖的教师，就要不断更新自己，努力提高自身的业务素质、理论水平、教育科研能力、课堂教学能力等。这就需要今后自己付出更多的时间和精力，努力学习各种教育理论，勇于到课堂中去实践，相信只要通过自己不懈的努力，一定会有所收获，有所感悟。
初中数学培训总结14
在这一段时间的培训中，我比较认真地看了各位专家对于小学数学新课标的解读，尤其对他们讲解的小学数学教学中各个方面的问题、今后改进的措施、办法进行了深刻的理解和领悟。确实收获不小，感觉自己在日常工作中还存在很多不足。我们仅仅在自己的一个狭小范围内着自己的工作。通过这次培训，我有如下感想：
初中教师远程培训的研修总结
我有幸参加了今年的高中语文教师远程研修培训。远程研修的第一天早晨，我是怀着一种渴望迷又惑的心情，因为我这时还不知道这次培训的知识和内容，不知道自己能否顺利完成任务。随着对远程研修的深入了解，我的心情与之前就截然不同了，渴望学习的.激情就来了。
远程研修平台，为我们刚站上高中课堂讲台的新教师提供了丰富的精神营养，我可以聆听到全国优秀老师的课，领略专家科学的教育理论和先进的教学方法，耳目一新，从根本上转变了教育观念。以前的自己上课总是喜欢自导自演，常会忽略了学生的主体地位，与学生有一定的距离感。在远程研修里，视频教程里老师的讲解丝丝入扣，课堂气氛生动活跃，每一个环节细致入微，给我很大的启发，让我在这里学到很多，也有很多感悟，最大的感受就是首先老师要具备广博的知识储能、自如的驾驭课堂能力、生动有趣的语言、灵活多样的教学手段等，充分调动学生的激情才能呈现一堂精彩的课。
自从参加远程研修以来，我在教育教学理论知识方面，经历了迷茫懵懂、渐呈清晰到教学观念上有了较大的提升，可以说研修平台像一扇窗口，让我眼界更加宽广，教学思路更加清晰。另外远程研修平台还给教师们提供了方便的交流平台，我可以随时看到老师们的感言以及他们对问题独到精辟的见解，也可以和他们交流自己的疑惑，收获了很多的启发和个人心得。
这次的教师远程研修仿佛给我打了一剂强心剂，开启了自身向上不断攀登的动力。
初中数学培训总结15
传统数学复习课上"老师讲解学生听、老师出题学生练"的做法，阻碍了学
生学习潜能的开发。教师作为课堂教学的组织者、引导者和合作者，要充分调动学生学习的积极性、主动性，让学生参与教学的每一个环节。这样既提高了复习效果，又培养了学生自主学习的能力。通过这次培训，我学到了很多。我认为：复习课不是旧知识的简单再现和机械重复，数学复习课也是如此，是一个梳理知识的学习过程，是将书本由“厚”变“薄”的过程，即将看似凌乱无章、头绪纷呈的知识条理化，概括为体现本质的、带有规律性结论。常言说的提纲携领，就是抓住问题的关键，带动全局。因此要求学生在阶段复习之初，将孤立、分散的知识串成线，连成片，结成网，分门别类，在头脑中形成清晰的知识结构图。课前老师可将复习目标及要求呈现给学生，让学生有明确的主动学习方向，然后放手让他们自己去整理知识点。这样学生根据学习目的，可以按照自己的想法，将知识点分类、汇总，并且探寻知识之间的内在联系，进行创造性地学习。在学生动手动脑总结整理的过程中，不仅加深了对知识的理解，也培养了他们的总结归纳能力。所以，复习课要做到以下几点：
一、知识总结，培养概括归纳能力。
由于数学大量使用形式化的数学语言，容易使学生造成表面上的形式理解，造成具体与抽象的脱节、感性与理性的脱节。因此，在数学的教与学中，逐步通过从具体到抽象的概括，透过表面形式不同的问题，去伪存真，抓住问题的本质，概括出解决问题的规律和方法，真正掌握数学知识，不只是掌握形式化的数学结论，而更重要的是掌握其中所蕴含的丰富思想方法。所以，数学概括能力是学习数学所必需的能力，必须重视数学概括能力的培养。
二、质疑释疑，培养解决问题能力。
新课程理念强调，要充分发挥学生学习的主动性。课堂上如果采用以往“老师提问学生回答”的模式，老师事先准备好的问题，限制了学生的思维，也不能调动学生学习的积极性和主动性，不利于学生的发展和提高。这时应该把课堂让给学生，使学生能够充分表现自我。老师只出示必要的信息，让学生自己观察动脑去发现问题，提出问题。学生心里有问题，说明他对这部分知识学习的比较透彻；能提出问题，需要动脑筋来组织语言。因此学生能够逐步学会抓住重点、关键来提问题，要知道“提出一个问题，往往比解决一个问题更重要”。然后，由提出问题的同学指名同学回答，回答问题的学生肯定会想：我怎么能被同学的问题难倒呢？那不是太没面子了吗？所以他也会在脑中迅速搜集相关知识来解答。最后评价的权力再交给提问者，他就需要认真听同学发言，而且可以检查自己提的问题对不对，有没有不完善的`地方，更何况作出正确的判断，也需要动一番脑筋。其他的同学这时可以针对问题或回答来发表自己的看法。
三、巩固练习，培养实践创新能力。
组织有效的练习，是使学生掌握知识、形成技能、发展智能的重要手段。除了老师有计划、有针对性地设计一些练习题外，也可以充分调动学生的参与，对学习结果能够进行自我检查、自我总结和自我补救。因为学生的头脑里不是一张白纸，他们都有了一定的知识经验、学习模式、思考方法。老师可充分利用这些宝贵的资源，把练习检测的任务靠给学生。练习开始时，老师是根据教学目标让每个同学都出一份题，同学交换来做。这时涌现出一批爱动脑、具有很强的搜集、组织、加工信息能力的同学，他们出的题从题型搭配、难易程度、分值分配等各方面都超出了老师的预料。但也有个别同学能力较差或责任心不强，出的题质量较差，达不到练习提高的效果。为了培优转差，这时老师将学生分组，各种学生合理分配到每个组，并实行组长负责制：组长与组员协商制定内容、分工等，完成任务后交给老师审定，然后小组间交换进行考试，再由出题组评卷。这样做，学生的兴趣空前高涨，在动手、动脑、动口的过程中，培养了实践创新的能力。
总之，在复习过程中，教师作为课堂教学的组织者、引导者和合作者，要改变传统的“教师讲解学生听，教师出题学生练”的被动局面，充分调动学生学习的积极性、主动性，自主建构知识网络，主动发现问题、提出问题、分析问题、解决问题、判断对错、寻找规律，能给予学生充分独立思考、展示个性的机会，让学生参与教学的每一个环节。
学习体会
魏学业
通过学习，对于复习课的上法大体有以下步骤：
1、教师分析（主要出错题目，共性问题）；
2、学生自我改进；
3、小组合作进一步改错；
4、讲评（可先有学生讲评思路、方法，再有教师补充）；
5、教师总结；
6、解决学生剩余的疑问；
7、学生整理。
自己的点滴看法：
1、其中变式训练要处理得当，难易适中。处理问题时要引导到位，让学生理清思路。
2、需要处理的习题较多时我们（或者由学生）可以先把需要的题目或过程抄写在黑板上，以节省时间。
3、抓住一类题目必须吃透，否则我们所做的将意义不大。讲题有二不讲：太简单的不用讲；讲了学生仍然不会的不讲。因为效果是看学生掌握了多少，而不是看我们讲了多少。
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